1. 计算下列曲线积分:
(1)∫L yds ,其中L 是由x y =2和2=+y x 所围的闭曲线; (2)
∫L ds y ,其中L 为双纽线)()(222222y x a y x −=+; (3) ∫L
zds ,其中L 为圆锥螺线 ];,0[,,sin ,cos 0t t t z t t y t t x ∈===
(4)∫−L L ydx x dy xy ,22为以a 为半径,圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到
最下面一点B; (5)∫−−L y
x dx dy ,L 是抛物线42−=x y ,从)4,0(−A 到)0,2(B 的一段; )6(∫++L dz x dy z dx y 222,L 是维维安尼曲线=+=++222222,y x a z y x
),0,0(>≥a z ax 若从x 轴正向看去,L 是沿逆时针方向进行的。
解 (1)联立
=+=22y x x y ,得 == −==..1,1,2,42211y x y x 将L 分为
),12(:2
1≤≤−=y y x L
)12(2:2≤≤−−=y y x L (如图20~2)。
故 ∫∫∫+=2
1L L L yds yds yds =
dy y dy y y ∫∫−−−+++122122)1(1)2(1 =∫∫−−+++1221222)41(418
1ydy y d y =122
1232|2
2|)41(121−−++y y =
223)171755(121−−
(2) 双纽线的极坐标方程为ϕ2cos 22a r =,弧长的微分为,2cos '22ϕϕϕd a d r r ds =
+=于是 ).22(2|)cos (42cos sin 2cos 4||240240−=−==∫∫a a d a a ds y C ππϕϕϕϕϕ
(3) ∫L zds =dt t t t t t t t t ∫+++−002221)cos (sin )sin (cos =dt t t t ∫+0
22 =)2(22120
20++∫t d t t t =].22)2[(3
1|)2(322123
200320−+=+⋅t t t (4)如图20-3,L 为)0(222≥=+x a y x 的一段故 ∫−L ydx x dy xy 22 =dy y a y y y a y a y a
a )22)((2222222−−⋅
−−−−∫− =dy y a y a a 2222
−−∫− =tdt t a 222
24cos sin 2∫−−π
π
=dt t a ∫−−2224
2sin 2
ππ =-dt t a ∫−−−224
24cos 12π
π
=.4|)4sin 8121(24224ππ
πa t t a −=−−− (5)如图20-4
∫−−L y x dx dy =dx x x x ∫−−−202)4(12=dx x x x ∫−−−−202412=)4(4122202−−−−−−∫x x d x x x
=202|)4ln(−−−x x =.2ln )4ln 2(ln =−−
(6)令),cos 1(2
θ+=a x 则 []).2,0(2
sin ,sin 2πθθθ∈==a z a y 从而
∫
++L dz x dy z dx y 222 =θθθθθθθπd a a a a a a ]cos 2
cos cos 22sin )sin 2(sin 4[24222204⋅+⋅+−⋅∫ =]2
sin )2sin 1(cos 41cos 41cos )sin 81([
220202202203θθθθθθθθππππd d d d a ∫∫∫∫−+−+− =]|)2
sin 512sin 322(sin |)2sin (81|sin 41|)cos 241cos 81[(205220202033ππππθθθθθθθθ+−++−+−a =334
)0028100(a a ππ−=+−⋅−+⋅. 2. 设),(y x f 为连续函数,试就如下曲线:
(1) L:连接),(),,(a b C a a A 的直线段;
(2) L:连接),(),,(),,(b b B a b C a a A 三点的三角形(逆时针方向),计算下列曲线积分: ∫∫∫L
L L dy y x f dx y x f ds y x f .),(,),(,),( 解(1))(,:b x a a y AC L ≤≤=.从而
∫
∫=L b a dx a x f ds y x f .),(),( ∫
∫∫==L b
a AC dx a x f dx y x f dx y x f .),(),(),( ∫∫==L
b a
d x f dy y x f .00)0,(),( (2)如图20-5,∆:L ACB 可分为
),(:b x a a y AC ≤≤=
),(:b y a b x CB ≤≤=
),(:b x a x y AB ≤≤=
∫∫∫∫++=L AC CB BA
ds y x f ds y x f ds y x f ds y x f ),(),(),(),(
=
∫∫∫+++b a b a b a dt t t f dy y b f dx a x f 11),(),(),( =∫∫∫++b a
b a b a dt t t f dy y b f dx a x f 2),(),(),( ∫
∫∫∫++=L AC CB BA dx y x f dx y x f dx y x f dx y x f ),(),(),(),( =
∫∫++a b b a dt t t f dx a x f ),(0),( =∫∫+a b
b a dt t t f dx a x f ),(),( ∫∫∫∫++=L AC CB BA
dy y x f dy y x f dy y x f dy y x f ),(),(),(),( =∫∫++
a b b a dt t t f dy y b f ),(),(0 =∫∫+a
b b a dt t t f dy y b f ),(),(
3. 设),(y x f 为定义在平面曲线弧段B A 上的非负连续函数,且在B A 恒大于零。
(1) 试证明∫>B A ds y x f 0),(;
(2) 试问在相同条件下,第二型曲线积分∫>B A dx y x f 0),(是否成立?
证 (1)因),(y x f 为B A 上的非负连续函数,
且)),((0),(B A y x y x f ∈∀>,所以任取B A 上一点),(00y x ,则0),(00>y x f ,且对B A D C y x f ⊂∃=,2),(000ε,使得 000),(),(ε<−y x f y x f , 从而.02
),(),(00>>
y x f y x f 由此 ds y x f ds y x f ds y x f ds y x f B
D D C C A B A ∫∫∫∫++= ),(),(),(),( 02
),(000++≥∫ds y x f D C 02
),(00>=s y x f (其中s 为D C 长)。
(2)相同条件下, 0),(>=dx y x f 不一定成立,因第二型曲线积分与方向有关。