第十章 曲线积分
一、证明题
1.证明:若函数f 在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t)(β≤≤αt )上连续，则存在点()L y ,x 00∈，使得，()⎰L ds y ,x f =()L y ,x f 00∆
其中L ∆为L 的长。

二、计算题
1.计算下列第一型曲线积分:
(1) ()⎰+L
ds y x ,其中L 是以0(0,0),A(1,0)B(0,1)为顶点的三角形; (2) ()⎰+L 2122ds y x ,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周;
(3) ⎰L xyds ,其中L 为椭圆22a x +22
b
y =1在第一象限中的部分; (4) ⎰L ds y ,其中L 为单位圆22y x +=1;
(5) ()
⎰++L 222ds z y x ,其中L 为螺旋线x=acost,y=asinr, z=bt(π≤≤2t 0)的一段; (6) ⎰L xyzds ,其中L 是曲线x=t,y=3t 232,z=2t 2
1 ()1t 0≤≤的一段; (7) ⎰+L 22ds z y 2,其中L 是222z y x ++=2a 与x=y 相交的圆周.
2.求曲线x=a,y=at,z=2at 21(0a ,1t 0>≤≤)的质量,设其线密度为a
z 2=ρ, 3.求摆线x=a(t －sint),y=a(1－cost)(π≤≤t 0)的重心,设其质量分布是均匀的.
4.若曲线以极坐()θρ=ρ()21θ≤θ≤θ表示,试给出计算
()⎰L
ds y ,x f 的公式.并用此公式计算下列曲线积分.
(1)⎰
+L y x ds e 22,其中L 为曲线ρ=a ⎪⎭⎫ ⎝⎛π≤θ≤40的一段; (2)⎰L
xds ,其中L 为对数螺线θ=ρx ae (x>0)在圆r=a 内的部分. 5.设有一质量分布不均匀的半圆弧,x=rcos θ,y=rsin θ(π≤θ≤0),其线密度θ=ρa (a 为常数),求它对原点(θ,0)处质量为m 的质点的引力.
6.计算第二型曲线积分:
(1) ⎰-L
ydx xdy ,其中L 为本节例2的三种情形; (2)
()⎰+-L dy dx y a 2,其中L 为摞线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(π≤≤2t 0)沿t 增加方向的
一段; (3)
⎰++-L 22y x ydy xdx ,其中L 为圆周222a y x =+,依逆时针方向; (4)⎰+L
xdy sin ydx ,其中L 为y=sinx(π≤≤x 0) 与x 轴所围的闭曲线,依顺时针方向; (5)⎰++L
zdz ydy xdx ,其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 7.质点受力的作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a,0)沿椭圆移动到(0,b),求力所作的功.
8.设质点受力的作用,力的方向指向原点,大小与质点到xy 平面的距离成反比,若质点沿直线x=at,y=bt,z=ct(0c ≠) 从M(a,b,c)到N(2a,2b,2c),求力所作的功.
9.计算沿空间曲线的第二型曲线积分:
(1)
⎰L xyzddz ,其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆,其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限;
(2) ()()()
⎰-+-+-L 222222dz y x dy x z dx z y ,其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线,其方向按曲线依次经过xy 平面部分,yz 平面部分和zx 平面部分
.。