图形与变换一、考点综述考点内容：（1）图形的轴对称（2）图形的平移（3）图形的旋转（4）图形相似变换考纲要求：1理解轴对称及轴对称图形的联系和区别；2掌握轴对称的性质；根据要求正确地作出轴对称图形。

3理解图形的平移性质；4会按要求画出平移图形；5会利用平移进行图案设计。

6理解图形旋转的有关性质；7掌握基本中心对称图形；8会运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计9掌握按耍求作出简单平面图形经相似变换后的图形。

考查方式及分值：近年全国各地的中考数学试题出现了不少有关图形变换的试题.这些试题以新课程标准的内容和要求为依据，注重对数学知识的理解，技能的掌握综合应用能力的检测，积极推进素质教育和数学创新思维培养，中考中考查的内容丰富，形式多样，题型涉及选择题、填空题、作图题和解答题等，其中尤以选择题居多，填空题相对较少，所占分值在3"0分,在选择、填空、解答题中都有出现，图案的设计常在作图题中出现。

备考策略：加强了对学生实验操作、读图作图、合情推理等能力的耍求，强化对图形变换的训练, 适当渗透空间观念，侧重数学思想方法以及运用几何知识解决实际问题能力。

二、例题精析例1、如图1,在直线/上摆放有AABC和宜角梯形DEFG,且CD = 6 cm；在左ABC中：ZC = 90°, ZA=30°, AB = 4 cm；在直角梯形DEFG 中:EF//DG, ZDGF=90°, DG=6 cm, DE =4cm, ZEDG = 60°解答下列问题:o（1）旋转：将AABC绕点C顺时针方向旋转90°,请你在图中作出旋转后的对应图形△ABC,并求出AB】的长度;（2）翻折：将沿过点Bi且与直线/垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形(3)平移：将△AEG 沿直线/向右平移至△ A’BQ,若设平移的距离为x, △，岫妁与直的 梯形重叠部分的面积为y,当y 等于AABC 面积的一半时，x 的值是多少？FEDAG解题思路：运用旋转、翻折、平移的性质，旋转注意旋转中心和旋转角度，翻折利用轴对称 的性质。

平移前后对应线段平行且相等。

AO.Ci,试判定四边形A2B (DE 的形状？并说明理由；解析：(1)在Z\ABC 中由巳知得：BC=2, AC=ABXcos30° =2占，.*.ABi=AC+C Bi=AC+CB= 2 + 2^3 . (2) 四边形ABDE 为平行四边形.理由如下：VZEDG=60° , ZA2B1C1 = ZAiBiC= ZABC = 60° , AA2B1Z/DE又A2B I =AB=AB=4, DE = 4, .・.A2B ： = DE,故结论成立.(3) 由题意可知：S AABC ~ — X 2 X — 2^3 ,2%1 当 0^尤< 2 或 x>iont, y =0此时重叠部分的面积不会等于AABC 的面积的一半%1 当2 < x V 4时，直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG 重叠的长度为DC 2=C 1C 2-DC F(x —2) cm,则 y = —(x- 2)V3(x - 2)=——(x- 2)2,2 2当y=|S AABC =占时，即争(x —2)2=占， 解得尤=2-扼(舍)或X = 2 + VL..•当x = 2 +很 时，重叠部分的面积等于AABC 的面积的一半. %1 当4<x<8时，△AaBzC?完全与等腰梯形重杵，即y = 2V3 %1 当 8<x< 10 时,B 2G=B2C2-GC 2=2 - (% -8)=10-%则y=；(10_工)，^^(1。

_工)=_^(1。

-工)2，1R当y = —S^ABC=y/3时，即—(10 — X)- = V3 ，2 2解得x = 10 —扼，或x = 10 +扼(舍去)...•当x = 10 + V2时，重叠部分的面积等于AABC的面积的一半.由以上知，当x = 2 + ^2或尤=10 +很口寸，重叠部分的而积等于AABC的而积的一半. 规律总结：注意运用图形变换中旋转、轴对称、平移的性质，认真把握题目所给条件的脉搏。

例2、如图2,桌面内，直线/上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直角边的长为6cm,较小锐们的度数为30° .(1)将△昭9沿直线化翻折到如图2-1的位置，ED，与他相交于点凡请证明：AF = Fir .(2)将△时沿直线/向左平移到图2-2的位置，使幻、E落在时上，你可以求出平移的距离，试试看；(3)将△旋7?绕点。

逆时针方向旋转到图2-3的位置，使/点落在ABk.请求出旋转角的度数.解题思路：(1)中线段相等可利用三角形全等；(2)中利用宜角三角形可以求出平移的距离;(3)中旋转后的图形可以判断△BCE，为等边三角形，从而求出旋转角度.解析:(1)根据轴对称的性质可知，在用与△〃'网中,9：ZA=ZD, , AB-BD' , /AF序ZD' FB,「•△g竺△〃' FB.・.・AF = FD f.(2)根据平移的性质可知6T为平移的距离.在Rt△矿S'中，BC = 2V3 ,所以07 = 6-20(3)根据旋转的性质可知，△BCE，为等边三角形，ZECE f为旋转角・.••旋转角匕ECE'为3甘.规律总结：解决平移与旋转的综合变换问题时，常常既可以先旋转后平移也可以先平移后旋转.只要把握好平移和旋转变换的各自的儿要素就可以很好地解决问题.例3、如图3,在平面直怕坐标系中，京BC和左关于点"成中心对称.(1)画出对称中心乙并写出点从/I、。

的坐标;(2)尹(a,力)是△应/的边ACk一点，△/!冏;经平移后点夕的对应点为& (a+6, M2), 请画出上述平移后的△ A?BG,并写出点4、。

的坐标；(3)判断△和左A^G的位置关系(直接写出结果).解题思路：根据中心对称图形的对应点连线经过对称中心，可以确定点8位置；通过〃点的平移规律可知，△4%|何上平移了6个单位，向右平移了2个单位.解析：(1)如图3—1, E (—3, -1), A (-3, 2),。

(一2, 0)；(2)如图,4 (3, 4), G (4, 2)；(3)^A2&G与左Ar&G关于原点0成中心对称.规律总结：本题将图形与坐标、平移有机的结合起来，考查学生能按照要求作出简单平图3-1图①图②A】图面图形旋转、平移后的图形，在一定程度上也考查学生切实理解运动变换及数形结合思想方法的程度.例4如图4-1,将矩形纸片砂⑦（图①）按如下步骤操作：（1）以过点】的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在4〃边上，折痕与网边交于点£、（如图②）；（2）以过点3的直线为折痕折叠纸片，使点4落在此'边上4,折痕所交沥边于点仃（如图③）；（3）将纸片收展平，那么ZAFE的度数为（）.图4—1A. 60°B. 67. 5°C. 72°D. 75°解题思路：设，点落在％边上4处，如图4-2由折叠过程可知，4AEF^A\EF, AAEF- ZA1EF, /AE&67.5。

,所以ZJ/^67. 5° .图4-2解：选B.规律总结：为了能清楚的理解问题，一定耍让学生实行实际操作，对于基础较好的同学可以根据操作结果进行分析计算，而一些基础不好的同学完全可以实际操作的结果进行测量，得出正确结果.另外，要让学生明确折叠即意味着图形轴对称，意味着全等图形的存在.例5如图5,在Rt△既C中，AB=AQ D、8是斜边位上两点，且匕〃/必45° ,将△也C 绕点，顺时针旋转90°后，得到△沥冗连接研下列结论：AB E D CA.①⑤B.②④C.③⑤D.②⑤ 2.将一正方体纸盒沿下右图所示的线剪开, 展开成平面图，其展开图的形状为（）①②4ABEs/\ACD ・,③ BE + DC = DE ；④ BE 2 + DC 2 = DE 2其中正确 的是（ ） A.②④ B.①④ C.②③ D.①③解题思路：由题意△成竺必；得到ZAB 件45° , Z/^90° ZFAE=ZFA^ZBAB^ 匕DA 。

ZBAE=45° ,所以△ AE/SEF,从而即=〃C.解析：选B.规律总结：本题考查学生运用旋转的性质，结合等腰直佑三的形和全等三的形的有关知 识，要求学生在图形变换的过程中全而寻找图形旋转过程中的不变量.三、综合训练一、选择题1.如图的图案是由下而五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（）3.将一张纸第一次翻折，折痕为AB （如图1）,第二次翻折，折痕为国（如图2）,第 三次翻折使PA 与PQ 重合，折痕为％（如图3）,第四次翻折使所与用重合，折痕为初（如 图4）.此时，如果将纸复原到图1的形状，则匕C0?的大小是（）1题图① ② ③ ④ ⑤A. 120°B.90°C.6(7I).45。

4.直角三角形纸片的两直角边长分别为6, 8, 点B重合，折痕为OE,则tan ZCBE的值是（现将△ABC如图那样折叠，使点A与第4题图24A. VV77C. 24D.5.如图，RtAABC 中,第3题图ZACB = 90\ ZCAB =30°, BC = 2 ,。

，H 分别为边A& AC的中点，将△A8C绕点B顺时针旋转120°到乙的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）C.兀6.如图，△应仃的内部有一点R H〃、伏户是户分别以』从BC、4C为对称轴的对称点.若的内角£4=70。

，Z庐60。

，Z05O。

，则』AD8+qBEC，/CFA=（AB 图1)4第5题图3D. ( 2 , 4-2A /3)A. (2, 20)A. 180°B. 270°C. 360°D. 480°7. 如图，布平而直角坐标系中，04殄是正方形，点刀的坐标是（4, 0）,点P 为边伸 上一点，Z 677^60° ,沿67,折叠正方形，折准后，点月落在平而内点8'处，则8'点的坐 标为（）.3B. ( 2 , 2-^3) c. (2, 4-2A /3) 二、填空题8. 如图，菱形中，匕仞庆60° , 〃是的中点，Q 是对角线刀。

上的一个动点, 若P^PB 的最小值是3,则应?长为.第8题图9. 在如图所示的单位正方形网格中，将 WBC 向右平移3个单位后得到△A'RC'（其 中A,B C 的对应点分别为A', B' C'）,则ZBA f A 的度数是第9题图10. 如图，将边长为1的正三角形°AP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落扩B第6题图第7题图DB在点与，4… 乙。