不等式及其性质(教师版)work Information Technology Company.2020YEAR一、不等式及其性质【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系；2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用；3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．类型一、不等式的概念例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．例2.（1）4＜5；例3.（2）x2+1＞0；例4.（3）x＜2x-5；例5.（4）x=2x+3；例6.（5）3a2+a；例7. （6）a 2+2a≥4a -2．变式练习：1.（2017春•城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t ℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（ ）A ．18＜t ＜27B ．18≤t ＜27C ．18＜t≤27D ．18≤t≤272.（2017春•未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a ；②-2＞-5；③x≥-1；④ 31y-4＜1；⑤2m≥n ；⑥2x-3，其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3.（2017春•南山区校级月考）下面给出了6个式子：•3＞0； x+3y ＞0； x=3；④x-1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4.（2017春•太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x 辆，租用30座客车y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ）A ．两种客车总的载客量不少于500人B ．两种客车总的载客量不超过500人C ．两种客车总的载客量不足500人D ．两种客车总的载客量恰好等于500人5.已知有理数m ，n 的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．（1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）m•n 0；（6）m+1 0．例2．用不等式表示：(1)x 与-3的和是负数；(2)x 与5的和的28％不大于-6;(3)m 除以4的商加上3至多为5．举一反三：【变式】a a 的值一定是（ ）．A. 大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零例3.下列叙述：①a 是非负数则a≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.A.1个B.2个C.3个D. 4个要点二、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x >是一个一元一次不等式． 要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．例1.（2017春•沧州期末）下列各式中，一元一次不等式是（ ）A.xx 5>B ．2x ＞1-x 2C ．x+2y ＜1D ．2x+1≤3x 变式练习 2．（2017春•平川区校级期中）下列是一元一次不等式的是（ ）11..>+x x A B ．x 2-2＜1 C ．3x+2 D ．2＜x-2 3．（2016春•永丰县期中）若不等式2x a ＜1是关于x 的一元一次不等式，则a 符合（ ）A ．a≠1B ．a=0C ．a=1D ．a=24.若（m+1）x |m|+2＞0是关于x 的一元一次不等式，则m=（ ）A ．±1B ．1C ．-1D ．05.下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个．①x ＞-3；②xy≥1；③x 2＜3；④132≤-x x ；⑤11>+x x ； A ．1 B ．2C ．3D ．4要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或整式)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a±c ＞b±c.不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或a b c c>)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或a b c c<)． 例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜． ． 【答案与解析】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a＞b，当c=0时则 ac2＞bc2错误，故错误；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．例4.（2017•青浦区一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】D.【解析】解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确.【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．举一反三：【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3m”，则m的取值范围是．【答案】m＜0.解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3m ”，∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．【巩固练习】一、选择题1.（2016春•北京期末）在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）A．2个B．3个C．4个 D．5个2．下列不等式表示正确的是( ).A．a不是负数表示为a＞0 B．x不大于5可表示为x＞5 C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D．m与4的差是负数可表示为m-4＜03.式子“①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≥1；⑤x＜0”属于不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是( )A．a+3＞b+3 B．2a＞2b C．-a＜-b D．a-b＜05．若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（）.A.a>cB.a<cC.a<bD.b<c6．下列变形中，错误的是（）.A．若3a+5＞2，则3a＞2-5 B．若213x->，则23x<-C．若115x-<，则x＞-5 D．若1115x>，则511x>二、填空题7．（2016秋•太仓市校级期末）如果a ＜b ，则﹣3a﹣3b （用“＞”或“＜”填空）． 8．用不等式表示“x 与a 的平方差不是正数”为 ．9．在-l ，12-，0，23，2中，能使不等式5x ＞3x+3成立的x 的值是________；________是不等式-x ＞0的解．10．假设a ＞b ，请用“＞”或“＜”填空(1)a-1________b-1； (2)2a______2b ； (3)12a -_______12b -； (4)a+l________b+1． 11．已知a ＞b ，且c ≠0，用“＞”或“＜”填空． (1)2a________a+b (2)2a c _______2b c(3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c| 12. k 的值大于-1且不大于3，则用不等式表示k 的取值范围是_______．（使用形如a ≤x ≤b 的类似式子填空．）三、解答题13．现有不等式的性质：①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．请解决以下两个问题：（1）利用性质①比较2a 与a 的大小（a≠0）；（2）利用性质②比较2a 与a 的大小（a≠0）．14. ①当a=3，b=5时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是_______； ②当a=-3，b=5时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是__________； ③当a=1，b=1时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是________； ④根据上述数学实验你猜想a 2+b 2与2ab 的大小关系_______；⑤用a 、b 的其他值检验你的猜想______．15．已知x＜y，比较下列各对数的大小．(1)8x-3和8y-3； (2)516x-+和516y-+； (3) x-2和y-1．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】解：﹣3＜0是不等式，x≥2是不等式，x=a是等式，x2﹣2x是代数式，x≠3是不等式，x+1＞y是不等式．不等式共有4个．故选C.2. 【答案】D；【解析】a不是负数应表示为a≥0，故A错误； x不大于5应表示为x≤5，故B错误；x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误； m与4的差是负数应表示为m-4＜0，故D正确。