4．向量的相等
α = (a1, a2 ,, an ), β = (b1, b2 ,, bn ) α = β ai = bi (i =1,2,, n)
5．向量组 同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称 为向量组
4.1.2 n 维向量的线性运算
1．加法与数乘 为任意实 k 数，则
α = (a1, a2 ,, an ), β = (b1, b2 ,, bn )
称为第
i 个分量（或第 i个坐标）．
αT = (a1, a2 ,, an ) 行向量 即 1×n 矩阵
a1 a2 列向量 即 n×1 矩阵 α= an
2．零向量 3．负向量
0 = (0,0,,0)
α = (a1, a2 ,, an ), α = (a1, a2 ,, an )
k1, k2 ,, km ,表达式 k1α1 + k2α2 ++ kmαm 称为向量组
k A 的一个线性组合， 1, k2 ,, km 称为该线性组合的系数.
(2)给定向量组 A:α1,α2 ,,αm 和向量 β ,如果存在一组实数
k1, k2 ,, km
,使
β = k1α1 + k2α2 ++ kmαm
β 能由α1,α2 ,,αm 线性表示，且表示式是惟一的.
定理7 定理 设有两个向量组 A:α j = (a1 j , a2 j ,, arj )Τ ( j =1,2,, m)
B : β j = (a1 j , a2 j ,, arj , ar+1 j )Τ ( j =1,2,, m)
若向量组 A 线性无关，则向量组 B 也线性无关； 若向量组 B 线性相关，则向量组 A 也线性相关. 注:向量组的线性相关与线性无关的概念可用于线性方程组． 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个 方程就是多余方程，此时称方程组（各个方程）是线性 相关的； 当方程组中没有多余方程，则称该方程组（各个方程） 是线性无关（或线性独立）的 .
的线性相关性.
1 1 2 2 1 3
1 1 1 1 1 1 r2×(1)+r3 r ×(3)+r2 1 0 1 5 0 1 5 → → r ×(2)+r3 1 0 1 5 0 0 0
由于 R( A) = 2 < 3 ,从而 α1,α2 ,α3 线性相关.
2 1 3 例4：已知向量组 α1 = 3,α2 = 2,α3 = 5 ，问 2 1 4
b x1 1 b x2 b = 2 x= bm xn
Ax = b x1α1 + x2α2 ++ xnαn = b (α1,α2,,αn)x = b
则
4.1.3 向量组的线性组合与线性表示
1.定义 (1) 给定向量组 A:α1,α2 ,,αm ,对于任何一组实数 定义2 定义
4.2.2 向量组线性相关的充分必要条件
定理3 定理 向量组 A:α1,α2 ,,αm 线性相关 R( A) < m 向量组 A:α1,α2 ,,αm 线性无关 R( A) = m
2 1 3 例3 讨论向量组 α1 = 3,α2 = 2,α3 = 2 1 1 1 2 1 3 1 r r3 1 → 解: A = (α1,α2 ,α3 ) = 3 2 2 3 1 1 1 2
因为 α1,α2 ,α3线性无关，故有 k1 + k3 = 0 k1 + k2 = 0 k + k = 0 3 2 此时，线性方程组只有零解 k1 = k2 = k3 = 0 也即向量组 β1, β2 , β3线性无关.
定理4 定理 向量组 α1,α2 ,,αm (m ≥ 2)线性相关
向量组中至少
行变换,化为行阶梯形 行阶梯形矩阵,其非零行的行数就是矩阵的秩 非零行的行数就是矩阵的秩, 行变换 行阶梯形 非零行的行数就是矩阵的秩 也是向量组的秩(当然也是极大无关组所含向量的个数); 行 阶梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元所在的列对应 阶梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元所在的列 的向量构成的向量组就是向量组的一个极大无关组.
4.2.1线性相关与线性无关的定义
k1 = k2 == km = 0 时才成立． 2.由定义4可知， (1) 仅含一个零向量的向量组必线性相关; (2) 仅含一个非零向量的向量组必线性无关; (3) 任何包含零向量在内的向量组必线性相关; (4) 向量组 A:α1,α2 ,,αm 线性相关 齐次线性方程组 x1α1 + x2α2 ++ xmαm = 0 有非零解 R( A) = R(α1,α2 ,,αm ) < m
β1 = α1 +α2 , β2 = α2 + α3 , β3 = α3 +α1 证明向量组 β1, β2 , β3也线性无关.
证明：设有 k1, k2 , k3 使得
k1β1 + k2 β2 + k3β3 = (k1 +k 3)α1 + (k1 + k2 )α2 + (k2 + k3 )α3 = 0
有一个向量可以由其余 m1个向量线性表示. 注：两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例.
4.2.3 线性相关性的判断定理
定理5 定理 （1）若 α1,α2 ,,αr 线性相关,则 α1,,αr ,αr+1,,αm 也线性相关; （ 2）线性无关向量组的任何部分组必线性无关. 定理6 定理 若 α1,α2 ,,αr 线性无关,而α1,α2 ,,αm , β 线性相关,则
α + β = (a1 + b1, a2 + b2 ,, an + bn )
kα = (ka1, ka2 ,, kan ),
2．加法与数乘的运算规律（略）
a1 j a2 j , ( j =1,2,, n) αj = amj
注:利用向量的运算,对于方程组 Ax = b 3
所以 β 能否由α1,α2 ,α3惟一线性表示，且
β = α1 +α2 α3
例2
α = (2, 3,0), β = (0, 1,2),γ = (0, 7, 4)
试问 β 能否由α1,α2 ,α3 线性表示？若能，写出具体表示式.
2 0 0 1 0 0 解: B = ( A,γ T ) = (αT , β T ,γ T ) = 3 1 7 → 0 1 0 0 2 4 0 0 1
则称 β 是向量组的线性组合，或称
β 可由向量组 A 线性表示.
2.定理 定理1 定理
β 可由向量组 A线性表示 的充分必要条件是
矩阵 A= (α1,α2 ,,αm ) 的秩等于矩阵 B = (α1,α2 ,,αm, β )的秩 注：设
A= (α1,α2 ,,αm ) B = (α1,α2 ,,αm, β )
的秩. 注: (1) 只含零向量的向量组没有极大线性无关组,规定它的秩 为0． (2) 任何非零向量组必存在极大无关组． (3) 向量组的极大无关组与向量组本身等价． (4) 线性无关向量组的极大无关组就是其本身 . (5) 向量组的极大无关组一般不是惟一的.但每一个极大无 关组所含向量的个数是惟一的,等于向量组的秩．
α α α α
例7
α1 = (2,1,4,3),α2 = (1,1, 6,6),α3 = (1, 2,2,9),α4 = (1,1, 2,7),α5 = (2,4,4,9)
4.3向量组的秩
4.3.1 向量组的极大无关组与秩的定义 1.定义 设有向量组 A,如果在 A中能选出 r 个向量α1,α2 ,,αr 定义5 定义 满足⑴ 向量组 α1,α2 ,,αr 线性无关； ⑵ 向量组 A 中任意一个向量都能由 α1,α2 ,,αr 线性表示 那么称 α1,α2 ,,αr 是向量组的一个极大线性无关组，简称极 大无关组；极大线性无关组所含向量的个数 r ,称为向量组 A
例6
1 2 1 0 4 5 2 2 α1 = 1,α2 = 1,α3 = 5,α4 = 2 0 3 6 1 2 2 2 0
解: 将向量组构成矩阵 A,进行初等行变换
1 4 A = (α1,α2 ,α3,α4 ) = 1 0 2 1 2 1 1 r× 5 2 r2 r5 0 1 2 r ×(1)+r4 3 r ×(1)+r 3 5 0 0 0 → 1 r4 ×( ) 3 r2 ×3+r3 0 0 0 1 r× 3 2 r ×(1)+r4 3 0 0 0 1 0 1 2 1 0 2 2 0 3 6 2 r ×(4)+r2 1 r ×(1)+r3 1 → 1 5 2 0 3 6 2 r ×(2)+r5 1 3 3 6 1 0 3 6 1 2 2 0 0 2 4 0 0 0 , R( A) = 3 从而向量组 1, 2 , 3, 4 1 0 0 的秩为3, α ,α ,α 为其一极大无关组. 1 2 4 2 5
4.3.2向量组的秩与矩阵的秩的关系
定理8 定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量 组的秩. 结论:若 Dr 是矩阵 A的一个最高阶非零子式，则 Dr 所在的 r D 列即是列向量组的一个极大无关组， r 所在的 r 行即 是行向量组的一个极大无关组.
4.3.3 利用初等行变换求向量组的秩与极大无关组 将所讨论的向量组 α1,α2 ,,αm 的每一个向量作为矩阵 的列写成一个矩阵 A= (α1,α2 ,,αm ) ,并对此矩阵施行初等 列
α1,α2 ,α3 是否线性相关.
解：
2 1 3 2 1 3 1 1 2 A = 3 2 5 →1 1 2 →0 1 1 ， 2 1 4 0 0 1 0 0 1
R( A) = 3
所以， α1,α2 ,α3 是线性无关.
例5：设向量组 α1,α2 ,α3 线性无关，又设，
β 可由向量组 A 唯一线性表示 的充分必要条件是