例1 计算行列式 解
D 1 3
1 1
按对角线法则，有
D 2 1 (2) (3) 1 3 111
11 3 2 11 (3) 1 (2) 23
补充例2 计算行列式
1
2 -4
D -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
T
a 32 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a 31
D=D
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
j 备注：交换第 i行（列）和第 行（列）， 记作 ri rj (ci . c j )
作业：11页,习题一1题（4）（6）（8）（10)
二、行列式的性质
记 D
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n a n1 a n 2
a11
T
a21 an1 a22 an 2 a2 n ann
a12 ,D a1n ann
T 行列式 D称为 行列式 的 D 转置行列式.
小结：三阶行列式
三阶行列式的计算
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21 a31 a12 a22 a32
( ) ( ) ( ) a13 a11 a23 a21 a12 a22
a33 a31 a32 () () ()
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.
b1a22 a12 b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12 a21
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12a21
a11 x1 a12 x2 b1 2.二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 a11 a12 D 若令 a21 a22 (方程组的系数行列式) b1 b2 a12 a22 a11 a21 b1 b2
D1 x 1 D 则上述二元线性方程组的解可表示为 D2 x2 D
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个数 分成两对相乘再相减”.
数表
a11 a21
a12 a22
记号
a11
a12
a21 a22
b1a22 a12 b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12 a21
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
根据三阶行列式的对角线法则，有
a11 D1 ka21 a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
a11 (ka22 )a33 a12 (ka23 )a31 a13 ( ka21 )a32 a13 (ka22 )a31 a12 (ka21 )a33 a11 (ka23 )a32
x 2 5 x 6,
由 x2 5 x 6 0 得
x 2 或 x 3.
练习：计算行列式
2 1 3 2 4 3
0 1
1 1
0 1 1 a
(1) 5 2 1
(2) 1 1 a
x1 (3) x2 x3
y1 1 y2 1 y3 1
1 cos 1 sin 1 (4) 1 sin 1 cos 1 1 1 1
性质5 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍 数 ，等于用 数 乘以此行列式 . k k 备注：第 i行（列）乘以 k ，记作 验证
ri k (c .i k )
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 , a31 a32 a33
a11 D1 ka21 a31
例2
求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12
2 x1 x2 1
解
因为 D
3 2 2 1
3 ( 4 ) 7 0
1 1 3 12 D2 3 24 21 2 1
D1 14 2, 所以 x1 D 7
D1
12 2
12 ( 2) 14
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 k a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
kD
推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提 到行列式符号的外面． 备注：第 i行（列）提出公因子 ， k 记作 ri k (c.i k )
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
D b1 b2 a12 a22
a11 a21
a12 a22 D2
(方程组的系数行列式)
D1
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
D1
D2
(二)、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
引进记号 主对角线 副对角线
a11 a21 a31
a11 a21 a31 a12 a22 a32
a12 a22 a32
a13
a13 a23 a33
原则：横行竖列
a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式 为零．
验证 我们以4阶行列式为例.
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34 ka11 ka12 ka13 ka14
k
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a11 a12 a13 a14
D2 21 x2 3 D 7
练习：1.计算
(1)
a 1
1 a
(2)
sin cos
cos sin
2.解方程组
x 2 y 2 (1) x 3y 0
3 x1 6 x2 4 (2) 2 x1 3 xt( 若记 D det(aij ), D ， 则 bij ) .
T
bij a ji
T . D D
性质1 行列式与它的转置行列式相等,即
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 即D DT
证明 若记 D det(aij ), DT ， 则 bij ) det(
bij aij i , j 1, 2,, n
根据行列式的定义，有
DT
p1 p2 pn

(1)t ( p1 p2 pn ) b1 p1 b2 p2 bnpn

p1 p2 pn

(1)t ( p1 p2 pn ) a p1 1a p2 2 a pnn
D
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成 立的对列也同样成立.
1 7 5
验证
1 7 5 3 5 8 196 6 6 2
6 6 2 196 3 5 8 1 7 5
1 7 5
于是
6 6 2 3 5 8 3 5 8 6 6 2
性质3 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明
互换相同的两行，有
，所以
.
D D
D0
性质4 如果行列式有一行（列）全为零，则此行列式为零
主对角线
a11
a12
副对角线
a21 a22
a11a22 a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
例1 计算行列式
3 2 (1) (3) (4) 5 2 2 5 4
(2) a 1 1 a a ( a ) 11 a 2 1
以三阶行列式为例验证：
a11
a12
D = a 21 a 22 a 31 a 32
a 23 = a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a13
a11 D T = a12 a13
a 21 a 22 a 23
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
也可以将前两列写在后面，然后按 照实线乘积取正，虚线乘积取负的和。
( ) ( ) ( ) a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a11 a23 a21 a12 a22
a33 a31 a32 () () ()
2 3
1 1 -2
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 32 4 8 24 14.
补充例3 求解方程
1 1 2 3 4 9