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华中科技大学2018年数学分析试题解答

1.

由1n n n a x x -=-(1n ≥),得
2.
证明 将(1)f 、(0)f 在x 点(01x <<)用Taylor 公式展开并相减,则得
2211
(1)(0)'()''()(1)''()(0)22
f f f x f x f x ξη-=+
---(0,1ξη<<)
,由于(0)(1)f f =,因此得
此不等式可以改进为:'()1f x <(01x <<),因为01x <<时,上式22(1)1x x -+<. 3. 证明 1
221112220
(1)[(,)2(,)(,)]t x f tx ty xyf tx ty y f tx ty dt -++⎰
4.
证明 (反证法),假设00(,)f x y 不是(,)f x y 在,0x y ≥上的最大值。

由于
22
lim (,)0x y f x y +→∞
=,存在0r >,当22
,0,0x y r x y +≥≥≥时,00(,)(,)f x y f x y <。

考察闭区域22{(,):0,0,}D x y x y x y r =≥≥+≤,显然00(,)x y D ∈,由已知(,)f x y 在D 上连续,从而(,)f x y 在D 上取得最大值,设为11(,)f x y 。

显然在D ∂上,总有
00(,)(,)f x y f x y <,因而必有:1111'(,)'(,)0x y f x y f x y ==。

当22,0,0x y r x y +≥≥≥时,0011(,)(,)(,)f x y f x y f x y <≤,因此
11(,)f x y 是(,)f x y 在,0x y ≥上的最大值。

由假设,1100(,)(,)x y x y ≠。

这与已知矛盾,可知假设不真。

5.设处处有''()0f x >.证明:曲线()y f x =位于任一切线之上方,且与切线有唯一公共点.
证明 设00(,)x y 为曲线()y f x =上任一点,在该点处曲线的切线方程为 对曲线()y f x =上任意点,按Taylor 公式展开,得
由''()0f x >知,当0x x ≠时,000()'()()f x f x x x +-()f x <,而00(,)x y 为唯一公共点.得证.
6.求22
49L
xdy ydx
I x y -=+⎰,L 是取反时针方向的单位圆周.
解 L 的参数方程:cos ,sin ,02x y θθθπ==≤≤ 7.
证明 2
2
2
2
222
2222222
()()()()x y z t
x y t f x y z dxdydz
F t x y f x y dxdy
++≤+≤++=++⎰⎰⎰
⎰⎰
2203
2
()2
()t
t r f r dr
r
f r dr
=⎰⎰,当0t >时
因此,()F t (0t >)是严格单调减函数。

8.设级数01n n a n ∞
=+∑收敛,证明10001
n
n n n n a a x dx n ∞∞===+∑∑⎰.
证明 由01n n a n ∞
=+∑收敛知,10()1
n n n a
S x x n ∞
+==+∑在[]0,1上一致收敛,从而
10
()1n n n a S x x n ∞
+==+∑左连续,即110lim 1n n x n a x n -∞+→=+∑01n
n a n ∞
==+∑.对(0,1)x ∀∈,有1
0()1
x
x
n
n
n n n n n n n a a t dt a x dx x n ∞


+=====+∑∑∑

⎰, 于是100100lim ()x
n
n
n n x n n a x dx a t dt -∞

→===∑∑⎰⎰1100lim 11
n n n
x n n a a x n n -

∞+→====++∑∑. 9.设()f x 在[0,)∞上连续,其零点为01:0n n x x x x =<<<<L L ,
()n x n →∞→∞.证明:积分0
()f x dx ∞
⎰收敛⇔级数1
()n n
x x n f x dx +∞
=∑⎰
收敛.
证明
1
1
()()n N n
N
x x x n f x dx f x dx ++==∑⎰

,若0
()f x dx ∞
⎰收敛,则
1
1
1
10
()lim ()lim
()()n N N n
N x x x x n x n f x dx f x dx f x dx f x dx ++++∞
+∞
→∞→∞====∑⎰



,即1
()n n
x x n f x dx +∞
=∑⎰
收敛。

若0()f x dx ∞
⎰不收敛,同理可知1
()n n
x x n f x dx +∞
=∑⎰不收敛。

10.设a b <,()n f x 在[,]a b 上连续,()0b
n a f x dx ≥⎰(1,2,n =L ),当n →∞时,
()n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x .证明:至少存在一点0[,]x a b ∈,使得0()0f x ≥.
证明 由()n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ,得知()f x 在[,]a b 上连续,且数列
()b
n a f x dx ⎰
收敛于
()b
a
f x dx ⎰
,即lim ()()b b
n a
a
n f x dx f x dx →∞=⎰⎰,由于
()0b
n a
f x dx ≥⎰
,得
()0b
a
f x dx ≥⎰
,至少存在一点
0[,]x a b ∈,使得0()0f x ≥.
注 或用反证法:若对[,]x a b ∀∈,有()0f x <,由()f x 的连续性得()0b
a f x dx <⎰,与上面相同证法,推出矛盾.。

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