相似三角形推理证明1．（顺义18期末19）如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AB 于点G ．（1）填空：图中与△CEF 相似的三角形有 ； （写出图中与△CEF 相似的所有三角形）（2）从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF 相似．19．（1）△ADF ，△EBA ，△FGA ；………………………….3分（每个一分） （2）证明：△ADF ∽△ECF∵四边形ABCD 为平行四边形∴BE ∥AD …………………………………………………….4分 ∴∠1=∠E ，∠2=∠D∴△ADF ∽△ECF …………………………………………….5分（其它证明过程酌情给分）2．（大兴18期末19）已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB 、 AC 边上的点，且AE AD 53=，连接DE . 若AC ＝4，AB ＝5. 求证：△ADE ∽△ACB.19．证明：∵ AC =3，AB =5，35AD AE =，∴AC ABAD AE=．……………………………… 3分 ∵ ∠A =∠A ，……………………………… 4分 ∴ △ADE ∽△ACB ．……………………… 5分3．（丰台18期末18）如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC的长.18. 解：∵DE∥BC，∴AD AEDB EC=.……2分即243EC =．∴EC＝6．……4分∴AC＝AE + EC＝10．……5分其他证法相应给分.4．（怀柔18期末18）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC＝4，AC＝8，CD=2．求证：△BCD∽△ACB.18.证明：∵BC＝4，AC＝8，CD=2.…………………………1分∴………………………………………3分又∵∠C=∠C…………………………………………………………………………4分∴△BCD∽△ACB……………………………………………………………………5分DB C A5．（西城18期末18）如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．6．（密云18期末19）如图，BO 是ABC ∆的角平分线，延长BO 至D 使得BC=CD.（1）求证：AOB COD ∆∆∽.（2）若AB=2，BC=4，OA=1，求OC 长.19.（1）证明：BO 是ABC ∆的角平分线∴ ABO OBC ∠=∠…………………………………………………………………………..1分 BC=CD∴ OBC ODC ∠=∠∴ABO ODC ∠=∠…………………………………………………………………………..2分又AOB COD ∠=∠∴AOB ∆∽COD ∆…………………………………………………………………………….3分（2）解：AOB ∆∽COD ∆∴AB OA CD OC= …………………………………………………………………………..4分 又 AB=2，BC=4，OA=1，BC=CD∴OC=2 …………………………………………………………………………….5分7．（东城18期末19）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，∠DEC =90°.（1）求证：△ADE ∽△BEC .（2）若AD =1，BC =3，AE =2, 求AB 的长.8．（海淀18期末21）如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE =90°，AC =CE ，延长BC 至点D ，使CD =5，连接DE ． 求证：△ABC ∽△CED ．21．证明：∵ ∠B =90°，AB =4，BC =2， ∴ 2225AC AB BC =+=.∵ CE =AC ， ∴ 25CE =. ∵ CD =5， ∴AB ACCE CD=. ………………3分 ∵ ∠B =90°，∠ACE =90°，∴ ∠BAC +∠BCA =90°，∠BCA +∠DCE =90°.∴ ∠BAC =∠DCE .∴ △ABC ∽△CED . ………………5分9．（朝阳18期末23）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F . （1）求证：△P AF ∽△AED ；（2）连接PE ，若存在点P 使△PEF 与△AED 相似，直接写出P A 的长10．（石景山18期末23）如图，四边形ABCD 是平行四边形，CE ⊥AD 于点E ，DF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ． （1）求证：△ADF ∽△DCE ；（2）当AF =2，AD =6，且点E 恰为AD 中点时，求AB 的长．23．（本小题满分5分）（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠D A F =∠C D E ， ……………………………………………… 1分 ∵ DF ⊥BA ，CE ⊥AD ，∴∠F =∠C E D =90°，……………………………………………… 2分 ∴△A D F ∽△D C E ； ………………………………………………3分（2）解：∵△ADF ∽△DCE ，∴DE AFDC AD= ∴326=DC， ∴DC =9．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =DC∴A B =9．…………………………………………………………5分11．（平谷18期末19）如图，∠ABC =∠BCD =90°，∠A =45°，∠D =30°，BC =1，AC ，BD 交于点O ．求BODO的值．19．解：∵∠ABC =∠BCD =90°，∴AB ∥CD ． .................................................................................................................. 1 ∴∠A =∠ACD ． ............................................................................................................ 2 ∴△ABO ∽△CDO ． .. (3)∴BO ABCO CD=． ··········································································································· 4 在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =45°，BC =1， ∴AB =1．在Rt △BCD 中，∠BCD =90°，∠D =30°，BC =1， ∴CD =3．∴1333BOCO==． (5)12．（顺义18期末22）已知：如图，在△ABC的中，AD是角平分线，E是AD上一点，且AB：AC = AE ：AD．求证：BE=BD．22．证明：∵AD是角平分线，∴∠1=∠2，……………………………………….1分又∵AB AD = AE AC，……………………….2分∴△ABE∽△ACD，………………………………………..…….3分∴∠3=∠4，……………………………………………………….4分∴∠BED=∠BDE，∴BE=BD．………………………………………………………..5分13．（门头沟18期末18）如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD =CD ，CE ⊥AB 于E ．求证：△ABD ∽△CBE .18．（本小题满分5分） 证明：∵ AB =AC ，BD =CD∴ AD BC ⊥, ……………………………………2分∵ CE ⊥AB∴90ADB BEC ∠=∠=︒……………………………………4分∵B B ∠=∠ ABD CBE ∴△∽△ ……………………………………5分14．（平谷18期末23）如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点O 作EO ⊥BD ，交BA 延长线于点E ，交AD 于点F ，若EF=OF ，∠CBD =30°，BD =63．求AF 的长．23．解：方法一：∵□ABCD ，∴AD ∥BC ，OD =12BD =33． ··················································································· 1 ∵∠CBD =30°， ∴∠ADB =30°． ∵EO ⊥BD 于O ， ∴∠DOF =90°． 在Rt △ODF 中，tan30°=33OF OD =， ∴OF=3． (2)∴FD=6．过O作OG∥AB，交AD于点G．∴△AEF∽△GOF．∴AF EF GF OF=．∵EF=OF，∴AF=GF．∵O是BD中点，∴G是AD中点． (3)设AF=GF=x，则AD=6+x．∴AG=62xx x++=． (4)解得x=2．∴AF=2． (5)方法二：延长EF交BC于H．由△ODF≌△OHB可知，OH=OF． (3)∵AD∥BC，∴△EAF∽△EBH．∴EF AF EH BH=．∵EF=OF，∴13AFBH=． (4)由方法一的方法，可求BH=6．∴AF=2．15．（怀柔18期末23）数学课上老师提出了下面的问题：在正方形ABCD对角线BD上取一点F，使15 DFBD=.小明的做法如下：如图①应用尺规作图作出边AD的中点M;②应用尺规作图作出MD的中点E;③连接EC，交BD于点F.所以F点就是所求作的点.请你判断小明的做法是否正确，并说明理由.23.解：正确. ………………………………………………………………………………………1分理由如下：由做法可知M为AD的中点，E为MD的中点，∴AD DE =41. …………………………………………………………2分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC ，ED ∥BC . ………………………………………………3分 ∴△DEF ∽△BFC ∴BC DE =BFDF ………………………………………………………..4分 ∵AD =BC∴BF DF =BC DE =41∴BDDF =51………………………………………………………………………………………5分。