是某二阶常系数
六、（10分）设抛物线 y ax 2 bx 2ln c 过原点.当 0 x 1 时, y 0 ,又已知该抛物 线与 x 轴及直线 x 1所围图形的面积为 1 .试确定 a, b, c ,使此图形绕 x 轴旋转一周而成的
3
旋转体的体积最小.
七、（15分）已知u n(x) 满足u (nx)
x0
n
e nx
)
e x
，其中
n
是给定的正整数.
三、（15分）设函数 f (x) 连续， g(x) g (x) 并讨论 g (x) 在 x 0 处的连续性.
1f (xt)dt ，且 lim f (x)
0
x0 x
A， A为常数，求
四、（15分）已知平面区域 D {(x, y) | 0 x , 0 y
证：
1,
求 lim n
xn .
（2）求 lim e x 1 x
2
1 x2
。
x
（3）设 s 0 ，求 I e sx xndx(n 1,2, ) 。 0
（4）设函数 f (t) 有二阶连续导数， r
1 x2 y2 , g(x, y) f
2g x2
，求
（5）求直线l1 :
x z
y 0
0 与直线l2
:
x
2
4
y1 2
（1） xesin ydy
L
（2） xesin ydy
L
ye sin xdx xe sin ydy
ye sin ydx
L
5 2
2.
yesin xdx ；
}， L 为 D 的正向边界，试
五、（10分）已知 y xex e2x ，
xex e x ， y xe e2x e x
1
y
3
x
线性非齐次微分方程的三个解，试求此2 微分方程.
f 0 , f 0 , f 0 均 不 为 0， 证 明 ： 存 在 唯 一 一 组 实 数 k , k , k
lim k1 f ' h
h0
k2" f 2hh2 k3 f 3h
f0
0。
，使得
123
四 ．（ 本 题 17分 ） 设
1:
x2 a2
y2 b2
z c2
1， 其 中 a
b
c
0，
2 : z 2 x2 y 2 ， 为 1 与 2 的交线，求椭2 球面 在 上各点的切平面到原点
1) 所确定，其中 (t) 具有二
阶导数，曲线 y
(t) 与 y
t2 e u2 du
1
3 2e
在t
1 出相切，求函数
(t) 。
n
四、（15分）设 a n 0,S n
ak , 证明：
k1
（1）当
1 时，级数 an n 1 Sn
收敛；
（2）当 1且 sn
(n
) 时，级数 an n 1 Sn
发散。
五、（15分）设l 是过原点、方向为 ( , , ) ，（其中 2 2 2 1)的直线，均匀椭球
x2 y2 z2 1 ，其中（ 0 c b a, 密度为 1）绕l 旋转。 a2 b2 c
（1）求其转2动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向 ( , , ) 的最大值和最小值。
六、(15分)设函数 (x) 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲
2xydx (x)dy
线积分
c
xy
的值为常数。
4
2
（1）设 L 为正向闭曲线 (x 2)2
y2 1, 证明
2xydx x
(x)dy y
0;
c
（2）求函数 (x) ；
4
2
（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 2xydx
c
x
4
(x)dy
y
。
2
2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一． 计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15分）
z3
r
1 的距离。
2g
y2
。
二、（15分）设函数 f (x) 在 ( , ) 上具有二阶导数，并且
f (x) 0, lim f (x) x
0, lim f (x) x
0, 且存在一点 x0 ，使得 f (x0 ) 0 。
三、（15分）设函数 y f (x) 由参数方程 x 2t t 2 (t y (t)
2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题 5 分，共 20分）
(x y) ln(1 y )
1．计算 D
x dxdy ____________，其中区域 D 由直线 x y 1 与 1x y
两坐标轴所围成三角形区域.
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2 2 f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________. 0
z
x 3y
S
z dS
六．（本题 12分）设 f(x)是在
,
内的可微函数，且 f 、 x
中 0 m 1， 任 取 实 数 a0 ， 定 义 a
ln f a
,n
1,2m,..f.,证x
，其 明：
n
n1
an an 1 绝对收敛。
n1
七 ．（ 本 题 15分 ） 是 否 存 在 区 间 0,2 上 的 连 续 可 微 函 数 f(x)， 满 足 f0 f2 1
3．曲面 z x22 y 2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是__________.
4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) d2 y ________________. dx 2
ey ln 29确定，其中 f 具有二阶导数，且 f
1 ，则
二、（5 分）求极限 lim( ex e2x
距离的（本题 16分）已知 S 是空间曲线
2
z0 分（ z 0 ）取上侧， 是 S 在 P x, y, z
1
绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部
x, y, z 是原点到切
平面 的距离， , , 表示 S 的正法向的方向点余处弦的。切计平算面：，
（1）
S
z x, y, z dS ；（2）
1
（1）.求 lim
sin x
1 cosx
；
x0 x
（2）.求 lim 1 n n1
1 n2
...
1 n n；
x ln 1 e2t
d2y
（3）已知
y
t
arctane t ，求 dx2 。
二．（本题 10分）求方程 2x y 4 dx x y 1 dy 0 的通解。
三 ．（ 本 题 15分 ） 设 函 数 f(x)在 x=0的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且
u nx( )
xn 1ex (n 1,2,
) , 且 u (1)
n
e n
,
求函数项
级数 un (x) 之和.
n1
八、（10分）求 x 1
xn2 等价的无穷大量.
时, 与 n 0
2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（25分，每小题 5 分）
（1）设 x
n
(1 a)(1 a )
(1
a2n ),其中| a |
f、 x