课次教学计划（教案）课题函数的单调性和奇偶性教学目标1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别2.结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性教学策略重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数教学策略：讲练结合，查漏补缺函数的单调性1.例1：观察y=x2的图象，回答下列问题问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？⇒随着x的增加，y值在增加。

问题2：怎样用数学语言表示呢？⇒设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1<x2时，f(x1)< f(x2).结论：这时，说y1= x2在[0，+∞]上是增函数。

（同理分析y轴左侧部分）由此可有：2.定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）。

如果对于属于I某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

12（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。

3.例2.己知函数f（x）＝－x2＋2x＋3,⑴画出函数的图象;⑵根据图象写出函数f(x)的单调区间;⑶利用定义证明函数f（x）＝－x2＋2x＋3在区间(-∞,1］上是增函数;⑷当函数f(x)在区间(一∞,m］上是增函数时,数m的取值围.1、 用定义判断单调性：A ． 设所给范围∈21,x x 且21x x <；B ．计算f (x 1)－f (x 2)=几个因式的乘积形式C ．判断上述差的符号；D.下结论。

如果)()(f 21x f x <，则函数是增函数；如果)()(f 21x f x >，则函数是减函数用定义法判断单调性1．试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数.【扩展】①判断函数x x y 1+=在),1(+∞的单调性，并用定义证明之． ②判断函数xx y 1+=在)1,0(的单调性，并用定义证明之．求单调区间1. 判断函数y ＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）的单调性______________________2. 已知2312)(+-=x x x f ，指出()f x 的单调区间_________________________________.根据图像判断单调性 （看图像，向上趋势的就是增函数，向下趋势的就是减函数；）1 已知函数32)(2--=x x x f ．（1） 画出该函数的图象；（2）写出函数的单调区间．1．已知2,m <-点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数22y x x =-的图像上，则A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．132y y y <<D ．213y y y << （ ）根据单调性求参数的取值围1.若函数12)(-=x axx f 在),1(+∞上为增函数，数a 的取值围______________________． 2. 如果函数1)12(2+-+=x a x y 在区间[]2,2-上为减函数，数a 的取值围3 设函数()()2231f x x a x a =--+在区间()1,+∞上是增函数，数a 的取值围。

4.若ax x x f 2)(2+-=与1)(+=x ax g 在区间[]2,1上都是减函数，则a 的取值围是____________。

5.若函数2)(+-=b x a x f 在[)+∞,0上为增函数,则实数b a ,的取值围是 （ ） .利用单调性判断函数值例6.己知函数y=f(x)在［0,十∞)上是减函数,试比较f(43)与f(a 2一a 十1)的大小.函数的值域二、新知导航：1. 函数最大（小）值定义最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值．【例1】画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+ ②()3[1,2]f x x x =-+∈-③2()21f x x x =++ ④2()21[2,2]f x x x x =++∈-2. 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥． ③利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．1（1）配方法 （2）换元法 （3）数形结合法【例2】求函数21y x =-在区间[2，6] 上的最大值和最小值【例3】求函数y x =+三、经典例：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8. 【例2】1. 已知函数32)(2--=x x x f ，求出函数的最值____________________________； 2. 已知函数32)(2--=x x x f ，]4,0[∈x 求出函数的最值_______________________； 3. 已知函数32)(2--=x x x f ，]4,2[∈x 求出函数的最值_______________________; 【扩展】① 已知函数22)(2+-=mx x x f 在)2,(-∞上是减函数，在),2(+∞上是增函数，数m 的值；并根据所求的m 的值求函数在),(+∞-∞上的最值．②已知函数32)(2-+=x x x f ．（1）写出该函数的单调区间；（2）求函数在区间[]2,2-∈x 上的最值．③已知函数xx x f 22)(+=． （1）试讨论函数在),0(+∞∈x 上的单调性，并证明之； （2）由（1）试求函数在),0(+∞上的最值．【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--.解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2bx a=-，即1x =-.画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32x =时，min 94y =-.所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.四、课堂练习1. 已知函数2+=kx y ，[)+∞∈,0x ，下列说法中正确的是（ ） （A ）函数有最大值2 （B ）函数有最小值2（C ）当0>k 时函数有最大值2 （D ）当0<k 时函数有最大值22. 已知函数2)(2++=mx x x f 在)1,(-∞上是减函数，在),1(+∞上是增函数，数m 的值；并根据所求的m 的值求函数在),(+∞-∞上的最值．_________________________________________________3. 已知函数222+-=x x y ，[]2,3-∈x ，求该函数的最值___________________________________________4. 已知函数32)(2--=x x x f ．（1）写出该函数的单调区间；（2）求函数在区间[]5,1-∈x 上的最值．6. 函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值围是（ ）.A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ． 1a ≥7. 23()1,[0,]2f x x x x =++∈已知函数的最大（小）值情况为（ ）.A. 有最大值34，但无最小值B. 有最小值34，有最大值1C. 有最小值1，有最大值194D. 无最大值，也无最小值8. 函数32y x x =--的最大值是 .9. 已知函数2142a y x ax =-+-+在区间[0，1]上的最大值为2，数a 的值.函数的奇偶性1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。

2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合）中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转︒180，能够与另一图形重合） 这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性 1.偶函数（1）观察函数y=x 2的图象（如右图）①图象有怎样的对称性？②从函数y=f(x)=x 2本身来说，其特点是什么？⇒当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。

例如：f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)=f(-2)；f(-1)=1，f(1)=1，即 f(-1)= f(1)，……由于（-x ）2=x 2 ∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=x 2的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=x 2的图象上，这时，我们说函数y=x 2是偶函数。