（五）函数的单调性、奇偶性与周期性（一）知识归纳▲函数的单调性1．单调性概念如果函数y= f (x)对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x、x，当x<x时，2121、、①都有f (x)< f (x)，则称f (x)在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间；21②都有f (x)> f (x)，则称f (x)在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.21注意，若函数f (x)在整个定义域I内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x)称单调函数.2．函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：/0?(x)f)x?f(y),b(a在某个区间在这个区间内是单调递增；内，如果，那么函数/0x)?f()f(xy?，那么函数在这个区间内是单调递减。

如果▲函数的奇偶性3．奇偶性概念)(xx)，则称f )x为奇函数；②都有f (－x)= f (①都有f (x)定义域内的任意x，f (－x)=－f (x)，则称f (如果对于函数)(x)不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f 为偶函数；③如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x 既是奇函数，又是偶函数。

)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

注意：函数f (x．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关4 y轴对称。

于0(0)?f0x?处有定义，则)为奇函数，且在．函数f (x5 ▲函数的周期性．周期性概念6是T(x)为周期函数。

)= f (x)，则称f ( 如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f x+T 的一个周期。

f (x) 的最小正周期。

(x)若f (x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f学习要点：（二）▲函数的单调性．函数单调性的证明方法1)f(x)?f(x)）f(x)?f(x（或x??x,xM,且x③根据定义，得出结论。

）定义法：①任取；②论证（121122211（2）导数法f(x)[a,b]上不是单调函数，只要举出反例即可。

2．若要证明在区间f(x),g(x)F(x)?f(x)?g(x)的单调性的结论吗？的单调性，你能说出3．如果知道4．复合函数的单调性：“同增异减”设复合函数y= f [g(x)],其中u=g(x) , A是y= f [g(x)]定义域的某个区间，B是g(x) 的值域①若u=g(x) 在A上是增（或减）函数，y= f (u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f (u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。

5．奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。

页8 共页1 第f的抽象函数”的不等式。

运用函数的单调性可以解“含6．7．注意“函数f (x)的单调递增（或递减）区间是D”与“函数f (x)在区间上单调递增（或递减）“，这是两类不同的问题，从导数知识出发，更容易理解这两类问题：?不等式f' (x)>0（<0）的解集是区间D；①函数f (x)的单调递增（减）区间是D?不等式f' (x)>0（<0）对于x∈D②函数f (x)在区间D内单调递增（减）恒成立.▲函数的奇偶性8．函数奇偶性的证明方法：定义法（首先检验函数的定义域是否关于原点对称）。

9．要证一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f (a)±f (－a)≠0f(x)?F(x))?f(x)?g(x)xg()F(x)?f(x)?g(xF(x)f(x),的奇偶10．如果知道，，的奇偶性，你能说出g(x)性的结论吗？▲函数的周期性TT)?f(x?f(x?)。

常常写作)=1．f (x+T f (x)22T 2．若周期函数f (x)的周期为T，则f (ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为?||3．函数的单调性、奇偶性与周期性的综合应用。

(三)例题讲评32)x?R?(n?6)(4x?(m?)x?3mx的图像关于原点对称，其中(例1．已知函数f x)=m,n为实常数。

2,2])[?f(x.上是单调函数(1)求m , n的值；（2）试用单调性的定义证明：在区间22f(?a?2a?5)?f(2a?a?1), x 例2．设f ()是定义在R上的偶函数，在区间（－∞，0且满足）上单调递增，求实数a的取值范围。

例3．判断下列函数的奇偶性：?1n(x?1?x)(x?0)xx?2?1?16221)??x?1og(x)?1(1?x(3)f0)x?0f(x)?()(1)f(x?;(2)?2x2?0)x?)(xn1(1???x?页8 共页2 第T)?f()xf(的值为上的奇函数,它的最小正周期为例4．（1）T, 则是定义在R2TT．－．T D C BA．．0 22f(x)f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)f(0)?0R，满足（2）定义在实数集上的函数，f(1)?0f(x)是以且为一个周期的周期函数，则.（3）已知定义在R上的函数y= f (x)满足f (2+x)= f (2－x)，且f (x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f (x)=2x－1，当x∈[－4，0]时，f (x)的表达式为.___________（四）练习题一、选择题1?)(xf(??,??)上是, 1．若函数则该函数在x?12 A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值(??,0]上是减函数，且f (2)?0，则使得f (x)<0的xx2．若函数f()是定义在R上的偶函数，在的取值范围是2)(2,??) D．(?2,2)??) C．(??,? A．(??,2) B．(2,x?3x y?x?xy?2?2x?cos?cosxy?sinxy?x?sinx，，②，3．给出下列函数：①，③④其中是偶函数的有B．2个C．3个A．1个D．4个1?),?f(loga5), (，c= f [0∈，2 ]时，f (x)是减函数，设b= f (7.5)4．函数f (x)、f (x+2)均为偶函数，且当x82c的大小是a则、b、c> a>bb>a> c Da A．a> c > b B．>b>c ．C．f(?3)?0，则x·f 上是增函数, 又(x)＜0的解集是(5．若f x)是奇函数,且在(0,+∞)??{x|?3?x或x?3}{x|?3?x?0或0?x?3}}}3D.C. xA．{|或3＜x＜0x＞3{ B．x|x＜03或＜x＜[0,??)上是减函数，那么它函数，在下述式子中正确的是在果6．如f(x)是定义R上的偶3322f(?)?f(?a?1)a?a?1)?f(?)f(a B．A．4432f(?)?f(a?a?1)C．D．以上关系均不确定4x?[2,3]时,f(x)?x,则当x?[?1,0]fxf()(x)的表达式为时2为周期的偶函数，, 7．上，以是定义在R|x?1|?2?|x?1|?3x??x?42． B A．．C．D页8 共页3 第x?1．对于函数=1g的奇偶数性，下列判断中正确的是8x?1 D．非奇非偶函数C．既奇又偶函数A．是偶函数B．是奇函数?? 1f（x（x）= x）的图象为1，则函数（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f9．奇函数y= f?? 3)f ()x，已知f (等于1)=3，则(x)为奇函数，对任意x∈R，均有f (x+4)=f (f 10．设??4 D．C．4 3 B．3 A．3－2a ，则f (2)＝为周期的奇函数，若f (1)＞1，11．设函数f (x)是定义在R上以31a＋2222???＜＜D.a或a＜11 B．a＜且a≠1 C．a＞A．a＜3333??1,1?上单调递减的是12．下列函数既是奇函数，又在区间12?x??x?x1x?x)??f(ln?x)f(f(x)?a?axsin)?f(x．． DBCA．．22?x二、填空题)[0,??上为减函数，则不等式f (x)> f (2x+1) 的解集是在f 13．设偶函数(x)113),(?. a的值为的单调递减区间是)=4．若函数14f (xxax－+3 ，则实数2222)?2xa?(xf()?logx是奇函数，则a= 15．若函数a1对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f的图象关于直线上的奇函数，是定义在R且y=f (x) (4)+ f (5)=_________.x．16设f()?x2三、解答题1，讨论F (x)的单调性，)+ f F，且f 有(x)>0f (5)=1，设(x)=(xRxR)(．已知17f x是定义在上的增函数，对∈)x(f并证明你的结论。

页8 共页4 第2231k?k?1)x??f(x)kx?3( 18．设函数，；单调递减区间是（0，4））当（1k为何值时，函数f (x) ）内单调递减。

在（0，4）当（2k为何值时，函数f (x))在是奇函数，又知y=f (x) (=5，函数y= f (x－1≤x≤1)T)=19．已知函数yf (x是定义在R上的周期函数，周期。

x=2时函数取得最小值，最小值为－5］上是二次函数，且在［0，1］上是一次函数，在［1，4 (1)+f (4)=0；1（）证明：f4］上的解析式；)f (x在［1，=（2）试求y 4，9］上的解析式。

在［f 3（）试求y=(x)页8 共页5 第（五）函数的单调性、奇偶性与周期性参考答案、例题讲评（三）,是奇函数图象关于原点对称，则f (x)1．解：(1)由于f (x)例)x?f((?x)?f2233由得恒成立，6)mx?(?(n?6)??xn?(m?4)x???x3?(m?4)x?3mx2.?6m?4,即(m?4)xn?(n?6)?0恒成立，必有??3x2?,x)?x且?12x,任取x,x?x?2,)(2)由(1可知f(2211????2332)?x?)(x?12x?(x?x)(xf12x??fxxx?(x?12x)?21112211212222,012知，x?x?0，x??xx?x??由?2?x?x221111222????????,?ffxxx?0,从而f即x?f2112)xf( R为上的偶函数，例2．∵222),?5)]?f?2a?5(?f(?a??2a?5)f[?(?aa?2a22),?a?1)?f(2a?不等式等价于f(a2?a?522,4??1)0?aa?2a?5?( 7122,??(a?)0而2a?a?1?284),0(x)(??f轴对称，上单调递增，而偶函数图象关于∵在区间y)xf(∞）上单调递减，在区间（∴0，+22221?aa?1)得??2a?5?2aa?由f(aa?2?5)?f(2a? 2,?3a?4?0??4?a?1a?.）∴实数a的取值范围是（－4，1 3例．（1）函数定义域为R，x?x?xxx2?1?1616116?1?2?1xx)x?2??1??f(2f(?x)???1?1，∴f (x )为偶函数；x?xxx22164x1?16xx?)f(x1f(x)???4?4?1 （另解）先化简：为偶函数；，显然x4. 从这可以看出，化简后再解决要容易得多）须要分两段讨论：（21①设);(x??x)?f1xn??1n?xx1n?x(?0x?0x?,??,f?)1(??)1(?x?x?1页8 共页6 第1②设)(x??f??1n(1?x??x0?,?f(?x)?1n(?x?1??x)?1n)x?0,??xx??x?1－f (x)；时f(x)=0，也满足f (－x)=③当x=0 f (x)为奇函数；－x) =－f (x)，∴由①、②、③知，对x∈R有f (2?01?x??21?x? 1x??）3（，，∴函数的定义域为?2?0x?1??轴对称，又关y，0）组成，这两点既关于A（－1，0）与B（1f∴(x)=log1=0(x=±1) ，即f(x)的图象由两个点2既是奇函数，又是偶函数；(x)于原点对称，∴f1)?(x?f(x?1)??f?(x?1)?f(x?1)?2f(x)f(1)0f B; (2) 4; 提示：例4（1）选)xf()?f(x?4)?1]?1)?1]??f[(x?1)???f(x?f[(x分成两段考虑：，0]（3）由条件可以看出，应将区间[－4 2]，2，0]，－x∈[0，[①若x∈－1, x － f (－x)=－2)=)为偶函数，∴当x∈[－2，0]时，f (xx∵f ())，∴4+ x∈[0，②若x∈[－4，－22 ，+7; （x+4）－1=2xx(－)= f[4－（－x）]= f (4+x)=2(∵f (2+x)= f (2－x)，∴f x)= f (4－x)，∴f(x)= f2)?4?x??(2x?7?.)?f(x综上，?0)?x?1??(2?2x?练习题（三）一、选择题121234567 8 9 10 11 题号DB A A D B BDDA DB 答案x?)?xf(?x)??xf(x?3???2?2??x?3?2??3?x?．提示：时，即当72x??f(x?2)??x?2?f(x?2)???2?f(x)?1??x?0??3x?2?当2006??2)?g(?1)f(2006)?f(501?4?2)?f(2)(2)?f(f ,3?2a1?11?3)?f(?1)????f1)f(???f(1)??1,(2)?f(?11. 提示：1?a二、填空题21)??,(???1) (?,3 ；16．013．15．；14．23三、解答题x、R17．在上任取xx，设<x( f x)，x，∴f ()=12112211]??)]?[f(x)[x)F(x?F()?f(x 1122))f(xf(x121],1()[?f(x?fx)][?12)f)x(x(f21页8 共页7 第∵f (x)是R上的增函数，且f (10)=1，∴当x<10时0< f (x)<1, 而当x>10时f (x)>1;1?1<0, ∴F (x)< F(x)<1, f (x)f (x ∴)；x①若x<x<5，则0<f (x)<f ()<1, ∴0<12212121f(x)f(x)211>0, ∴F(x)>1, ∴x)> F (x)；f )>1 , ( ②若x>x>5，则f x)>f (x ∴f (x)(?111122221f(x)f(x)21综上，F (x)在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数./2?6(k?3kx1)fx(x)?，)18．对f (x求导得：（1）∵函数f (x)的单调递减区间是（0，4），2+2(k－1)x<0，x|0<x<4}, 得kx∴不等式f (x)<0的解集为{2+2(k－1)x=0的两根，=0或4是方程kx ∴x11，由二次不等式性质知所求kk=值为. 将x=4代入得332+2(k－1)x<0对x∈（0，4（2）命题等价于kx）恒成立，g(0)?01?.?则?k?0?4)g(3为单调函数，) －1), ∵g (x设g (x)=kx+2(k?2对x?(0,4?k?)恒成立，（或分离变量）2?x211,?k?g(4)?(g, (x)为单调减函数,?gx)?)g(x?. 记33?x2?3x?15, 4?x?6?2 x－(x)=f 4); (3)－2)5(1≤x≤解：)=2((解：. (1)19．证明：略(2)f x?29?x?657x2(?)?,?页8 共页8 第。