透射系数：
4.11
T 2
4 pp2 p2 p2 2 sin2 pa 4 pp2
4.12
第四章 从一维系统到凝聚态物质
讨论三种特殊情况 （1）E>V0，直角势垒上的散射
V(x)
E
1 V0 A
T
R
B
x
0
a
第四章 从一维系统到凝聚态物质
动量为实数，反射和透射系数形式不变
n aˆ n 0 n!
4.41
x表象中，激发态波函数
nx
aˆ
n
n!

0
x

4.42
第四章 从一维系统到凝聚态物质
nx

1 2n n!

m0
1
2
1



2
e 2
2Hn

4.43
Hn(): 厄米多项式
m0 x
（3）势阱的深度是相对于由a决定的基
态能量而言，势阱深度V0愈大，阱 内允许的能级愈多，愈接近无限深
势阱模型。
第四章 从一维系统到凝聚态物质
有限深势阱： （1）粒子在阱边界存在遂穿效应。 （2）波函数在阱内仍是三角函数，遂 穿部分按指数衰减。
第四章 从一维系统到凝聚态物质
(x)
(x)2
n=1
讨论：
（1）量子化条件/2=a/n 经典物理驻
波条件。能量的量子化由微观粒子 的波动性造成的。
（2）量子力学中，不存在n=0 的量子态。 囚禁在盒子里的粒子不可能是静止 的，它有一个基本的能量，盒子愈 小，基本能量愈大。
第四章 从一维系统到凝聚态物质
E1 2 2 2ma 2
4.25
粒子的动量和位置满足海森伯不确定性 关系。
透射系数
（a>>1）
T 2 16 EV0 E e2a
V02
4.13
第四章 从一维系统到凝聚态物质
势垒厚度a，粒子的透射率（遂穿概率） 指数下降。
T2
E V0
第四章 从一维系统到凝聚态物质
1.2，量子遂穿效应实例 扫描隧道显微镜（STM） 可以在真空、大气和液体中工作； 具有原子尺度分辨本领； 可以观察原子在物体表面排列情 况等。
1
T2
0
E V0
第四章 从一维系统到凝聚态物质
（3）E < V0 ，直角势垒遂穿
V(x) V0
0
a
E x
第四章 从一维系统到凝聚态物质
p 2mE V0 －虚数
作变换 p 2mE
p 2mV0 E
sinpa i sinha
2m
2 x2
V x

4.2
定态问题： x, t xeiEt /
定态薛定谔方程：
2 2m
d
2 x
dx2

V
x

E
x
4.3
第四章 从一维系统到凝聚态物质
（1）直角势垒
V(x)
I 1
V0
II A
III T
R
B
x
0
a
第四章 从一维系统到凝聚态物质
0
a
E x
V0
第四章 从一维系统到凝聚态物质
动量为实数，反射和透射系数形式不变
波数 k ，透射系数有一些振荡；
在条件
pa 2mE V0 a n n 1,2,... 透射系数＝1，实现完全透射
第四章 从一维系统到凝聚态物质
直角势阱透射率～能量关系曲线
第四章 从一维系统到凝聚态物质
STM工作原理
当电极间距小到nm量级时，电子由于 遂穿效应可以从一个电极穿过空间势 垒达到另一个电极，形成电流。
恒高度
lnI I
nA
Vb
0
x
第四章 从一维系统到凝聚态物质
恒电流
接压电陶瓷
Vz
Vz I nA
Vb
0
x
第四章 从一维系统到凝聚态物质
二，束缚态 2.1，束缚态能级的量子化 解势阱中的束缚态问题－定态薛定 谔方程 连续势函数V(x) 离散的量子能级
波函数(x)的常数A由归一化条件决定
a
x2 dx 1
0
4.23
nx
0
2
a
sinnx
a
0 xa 0 x, x a
4.24
第四章 从一维系统到凝聚态物质
(x)
(x)2
n=1
n=1
n=2
n=2
n=3
n=3
第四章 从一维系统到凝聚态物质
4.40
第四章 从一维系统到凝聚态物质
x表象中，基态波函数的微分方程

d dx

m0

x


0
x


0
方程解－基态波函数
0
x


m0
14
em0x2
2
4.41 4.42
第四章 从一维系统到凝聚态物质
（2）激发态 Nˆ 的本征矢 n 与基态态矢 0 的关系
4.5
第四章 从一维系统到凝聚态物质
p 2mE, p 2mE V0 4.6
势垒反射系数 R 2，透射系数 T 2 。 势垒的边界条件?
在势函数有限阶跃处，波函数及其 一阶倒数连续。
第四章 从一维系统到凝聚态物质
边界条件 x=0
1 R A B
ip1 R ipA B
n=1
n=2
n=2
n=3
n=3
第四章 从一维系统到凝聚态物质
2.3，量子围栏－实现波函数的测量
波函数测量－定态薛定谔方程实验解
在清洁的单晶Cu（111）表面上蒸镀 一层Fe原子；
用STM针尖让铁原子围成一个圆圈； 表面电子在铁原子上强烈反射，被禁
锢在量子围栏中，其波函数形成同心 圆驻波，波峰对应电子态密度峰值。
4.44
H0 1, H2 4x2 2 H1 2x, H3 8x3 12x
4.31
aˆ , aˆ 厄米共轭算符
aˆ i
1
2m0
pˆ im0xˆ
aˆ i
1
2m0
pˆ im0xˆ
4.32
第四章 从一维系统到凝聚态物质
aˆ , aˆ 对易关系
aˆ, aˆ i xˆ, pˆ 1
4.33
满足以上对易关系的算符有如下性质：
4.9
2ippei pa
T p2 p2 sinpa 2ippcospa
4.10
第四章 从一维系统到凝聚态物质
反射系数：
R 2
p2 p2 2 sin 2 pa p2 p2 2 sin2 pa 4 pp2
波数 k ，透射系数有一些振荡；
在条件
pa

2m E V0
a
n
n 1,2,...

透射系数＝1，实现完全透射
第四章 从一维系统到凝聚态物质
直角势垒透射率～能量关系曲线
T2 E V0
第四章 从一维系统到凝聚态物质
（2）V0<0，E >0，直角势阱上的散射
V(x)
k 2mE p
由边界条件 k n a , n 1,2,3,...
4.18
4.19 4.20 4.21
第四章 从一维系统到凝聚态物质
结果：
E

En

2 2n2
2ma 2
,
n 1,2,3,...

能量的本征值是离散
9
的，即能量是量子化
的。
4
1 0
4.22

第四章 从一维系统到凝聚态物质
当空间存在真实粒子时，真空背景场 对它的作用表现为辐射修正和真空极化 效应。
第四章 从一维系统到凝聚态物质
波函数在x表象中的具体形式： aˆ , aˆ 的另一个性质：
aˆ n n n 1 aˆ n n 1 n 1
4.39
aˆ , aˆ 分别是 Nˆ 的本征态 n 的升降算符
（1）基态： aˆ 0 0
孤立、离散
第四章 从一维系统到凝聚态物质
推论 能量的本征值是离散的，它们对应 于束缚态能级； 势阱 愈深，束缚态能级愈多； 如果势阱中存在多个束缚态，能级 愈高，振荡愈激烈，节点愈多。
能级自下而上，节点的数目从0逐 次增加一个。
第四章 从一维系统到凝聚态物质
2.2，直角势阱 －－无限深直角势阱中的束缚态
4.27 4.28
第四章 从一维系统到凝聚态物质
谐振子经典固有角频率：
0 m
4.29
Hˆ

1 2m
pˆ 2

m
2
2 0
x
2

1 2m
pˆ

im0xˆ pˆ
im0 xˆ
1 2
0
4.30
第四章 从一维系统到凝聚态物质
Hˆ

aˆ aˆ

1 2


0
0
4.36
第四章 从一维系统到凝聚态物质
Nˆ 的本征态也是Hˆ 的本征态，本征值为
En

n
1 2


0
4.37
谐振子的基态能量：
E0

1 2
0
4.38
－最低能量或零点能零点振动
第四章 从一维系统到凝聚态物质