第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。

3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。

ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。

5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。

例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

ˆˆ0ˆˆ0y y z z xp p x xp p x -=⎧⎨-=⎩，ˆˆ0ˆˆ0x x z z yp p y yp p y -=⎧⎨-=⎩，ˆˆ0ˆˆ0x x y y zpp z zp p z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ˆˆˆˆ0x y y x pp p p -=，ˆˆˆˆ0y z z y p p p p -=，ˆˆˆˆ0z x x z p p p p -= ˆˆˆˆ0xyyx -=，ˆˆˆˆ0y z z y p p p p -=，ˆˆˆˆ0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来)：ˆˆx pp x i αββααβδ-= (1) ˆˆˆˆ0xx x x αββα-= ˆˆˆˆ0pp p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。

注意：当Â与ˆB对易，ˆB 与Ĉ对易，不能推知Â与Ĉ对易与否。

6、对易括号(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：ˆˆˆˆˆˆ[,]AB AB BA ≡- 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：ˆ[,]x pi αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式：1) ˆˆˆˆ[,][,]AB B A =- 2) ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+ 3) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABC B A C A B C =+ ，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A = 4) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0AB C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。

角动量的对易式：(1)在直角坐标系中角动量算符的对易关系角动量算符ˆˆˆˆˆx x y y z zl r p i r l e l e l e =⨯=-⨯∇=++ ˆl 在直角坐标中的三个分量可表示为ˆˆˆ()xz y l yp zp i y z z y∂∂=-=--∂∂ ˆˆˆ()y x z l zp xp i z x x z ∂∂=-=--∂∂ ˆˆˆ()zy x l xp yp i x y y x∂∂=-=--∂∂ ˆˆˆ[,]x y z l l i l =，ˆˆˆ[,]y z x l l i l =，ˆˆˆ[,]z x y l l i l = （要求会证明）⇒ˆˆˆl l i l ⨯=ˆˆˆl l i l ⨯= 是角动量算符的定义式。

ˆˆˆ[,]l l i l αβαβγγε=式中εαβγ称淡Levi-Civita 符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：1231αβγβαγαγβεεεε=-=-⎧⎨=⎩其中,,,x y z αβ=或1,2,3证明：ˆ[,]x l i x αβαβγγε=或 ˆ[,]l x i x αβαβγγε= ,,,x y z αβ=ˆˆˆ[,]pl i p αβαβγγε= 或 ˆˆˆ[,]l pi p αβαβγγε= 2ˆˆ[,]0l l α=(2)在球坐标系中角动量算符的对易关系ˆ(sin cos )xl i ctg ϕθϕθϕ∂∂=+∂∂ ˆ(cos sin )yl i ctg ϕθϕθϕ∂∂=--∂∂ ˆzl i ϕ∂=-∂ 22211ˆ[(sin )]sin sin l θθθθθϕ∂∂∂=-+∂∂∂2ˆˆˆˆ,,x y z l l l l 和只与θ,ϕ 有关，与r 无关，而且ˆz l 只与ϕ 有关。

2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 2222222sin 1)(sin sin 1)(1ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=r r r r r r 或 222222ˆˆr pl r ∇=--22222ˆˆr p l r=--其中),1(ˆr r i pr +∂∂= )(1ˆ2222r r rr p r ∂∂∂∂-= ，r pˆ可称为径向动量算符。

(3)角动量升降阶算符 (I) 定义ˆˆˆx y l l il +=+，ˆˆˆx y l l il -=-显然有如下性质ˆl ++ˆl -=， ˆˆl l +-+=这两个算符不是厄密算符。

(II) 对易关系ˆˆ[,]z l l ±ˆl ±=±， 2ˆˆ[,]0l l ±=，22ˆˆˆˆˆz z l l l l l +-=-+，22ˆˆˆˆˆz z l l l l l -+=--7、逆算符(1). 定义: 设Âψ=φ, 能够唯一的解出ψ， 则可定义算符Â之逆Â-1为: 1ˆAφψ-= (2).性质I: 若算符Â之逆Â-1存在，则11ˆˆˆˆAA A A I --==, 1ˆˆ[,]0AA -= (3).性质II: 若Â,ˆB均存在逆算符, 则 111ˆˆˆˆ()ABB A ---= 8、算符函数设给定一函数F (x )，其各阶导数均存在，其幂级数展开收敛()0(0)()!n nn F F x x n ∞==∑则可定义算符Â的函数F (Â)为:()(0)ˆˆ()!n nn F F A A n ∞==∑ 补充：定义一个量子体系的任意两个波函数(态) ψ与ϕ的“标积” *(,)d ψϕτψϕ=⎰d τ⎰是指对体系的全部空间坐标进行积分，d τ是坐标空间体积元。

例如对于一维粒子：d dx τ∞-∞=⎰⎰对于三维粒子：d dxdydz τ+∞-∞=⎰⎰⎰⎰可以证明*11221122**11221122(,)0(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)c c c c c c c c ψψψϕϕψψϕϕψϕψϕψψϕψϕψϕ≥⎧⎪=⎪⎨+=+⎪⎪+=+⎩9、转置算符算符Â的转置算符ˆA定义为 **ˆˆd A d A τψϕτϕψ=⎰⎰即 **ˆˆ(,)(,)AA ψϕϕψ= 式中ψ和ϕ是两个任意波函数。

例如：x x∂∂=-∂∂（证明） ˆˆx x pp =- 可以证明：ˆˆˆˆ()ABBA = 10、复共轭算符算符Â的复共轭算符Â*就是把Â表达式中的所有量换成其复共轭。

但应注意，算符Â的表达式与表象有关。

11、厄米共轭算符算符Â之厄米共轭算符Â+定义为：**ˆˆ()d Ad A τψϕτψϕ+=⎰⎰或 ˆˆ(,)(,)A A ψϕψϕ+= 厄密共轭算符亦可写成：*ˆˆAA += 可以证明: ˆˆˆˆ()AB B A +++= ˆˆˆˆˆˆ()ABCCB A ++++=12、厄米算符 (自共轭算符)(1). 定义： 满足下列关系的算符称为厄米算符.**ˆˆ()d A d Aτψϕτψϕ=⎰⎰ˆˆ(,)(,)A A ψϕψϕ= 或 ˆˆAA += (2). 性质性质 I ：两个厄密算符之和仍是厄密算符。

性质 II ：两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易。

三、算符的本征方程如果算符Â作用于函数ψ的结果，等于某一常数λ乘以ψ，即ˆAψλψ= (2) 那么称λ为算符Â的本征值，ψ为算符Â的属于本征值λ的本征函数。

方程(2)称为算符Â的本征方程。

§3.2 动量算符和角动量算符一、动量算符∇-=i pˆ 1、动量算符的厄密性（证明）2、动量算符本征方程)()(ˆr p r p pp ψψ=，即()()p p i r p r ψψ-∇= 采用分离变量法，令：()()()()p r x y z ψψψψ=代入动量本征方程()()p p i r p r ψψ-∇= ⇒()()()()p r x y z ψψψψ=()()()x y z p p p x y z ψψψ=123x y z iiip xp yp zc ec ec e=ip rce⋅= (1)p 可取任意实数值，即动量算符的本征值p 组成连续谱，相应的本征函数为(1)式所表示的)(r pψ，这正是自由粒子的de Broglie 波的空间部分波函数。

(2).归一化系数的确定 ①、归一化为 δ 函数 取2/3)2(-= πc ，则)(r pψ归一化为δ函数，*()()()p p r r d p p ψψτδ∞'-∞'=-⎰(2) r p ipe r⋅=2/3)2(1)(πψ （3） 一维情况：x p i p x x erπψ21)(=②、箱归一化——P70-72（略去不讲）箱归一化方法仅对平面波适用，而归一化为δ函数方法对任何连续谱都适用。