Vx i y j zk
矢量 V 在新坐标系上 OX’Y’Z’ 的投影为
Vx'i'y'j'z'k'
则不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：
Ve'q1Veq
式中 Ve xiyjzk Ve'x'iy'jz'k
分别称为矢量 V 在坐标系 OXYZ 和 OX’Y’Z’ 上的映像
四元数 映象图解
zn轴 一与个自z t 轴由重方合位，角而或游x 与n动x方t及位y角t 与。y n之间相差
5. 平台坐标系—— Oxp ypzp
平台坐标系是用惯导系统来复现导航坐标
系时所获得的坐标系，平台坐标系的坐标 原点位于飞行器的重心处。对于平台惯导 系统，平台坐标系是通过平台台体来实现 的；对于捷联惯导系统，平台坐标系是通 过存储在计算机中的方向余弦矩阵来实现 的。
Vx i y j zk Ve xiyjzk
Vx'i'y'j'z'k' Ve'x'iy'jz'k
四元数表示转动 方向余弦
Ve'q1Veq 将该投影变换式展开，也就是把
Ve xiyjzk Ve'x'iy'jz'k
qP 1iP 2jP 3kq 1P 1iP 2jP 3k
代入上述投影变换式
x'iy'jz'k
2(P 1P 3P 2) 2(P 2P 3P 1)
(P 1iP 2jP 3k)(xiyjzk)(P 1iP 2jP 3k)
进行四元数乘法运算，整理运算结果可得
四元数表示转动 方向余弦
x' x
y
'
C
y
z ' z
其中方向余弦矩阵 C
22 (P P 1 12 P 2 P 22P 3)P 32
2(P 1P 2P 3) 2P 22P 12P 32
或简单表示为
q M v , P
四元数基本性质 乘法
2．四元数乘法
q M ( P 1 i P 2 j P 3 k ) v ( 1 i 2 j 3 k )
(v P 11 P 22 P 33 )
( 1 P 1 v P 2 P 13 )j
所在位置的东向、北向和垂线方向的坐标 系。地理坐标系的原点选在飞行器重心处， x指向东，y指向北，z沿垂线方向指向天 （东北天）。
4. 导航坐标系—— Oxn ynzn
导航坐标系是在导航时根据导航系统工作 的需要而选取的作为导航基准的坐标系。 指北方位系统：导航坐标系与地理坐标系 重合；自由方位系统或游动自由方位系统：
2. 地球坐标系—— Oxe yeze
地球坐标系是固连在地球上的坐标系，它相对惯 性坐标系以地球自转角速率 旋w转e ，地球坐标系的
原点在地球中心，Oz
轴与
e
Oz
轴i 重合，Oxe
ye
在赤道平面
内，x轴指向格林威治经线，y轴指向东经90度方
向。
3. 地理坐标系—— Oxt yt zt
地理坐标系是在飞行器上用来表示飞行器
一个坐标系或矢量相对参考坐标系旋转， 转角为θ，
转轴 n 与参考系各轴间的方向余弦值为cosα、cosβ、cosγ。
则表示该旋转的四元数可以写为
qcossincosisincosjsincosk
22
2
2
cossinn
22
为特征四元数 （范数为 1 ）
四元数既表示了转轴方向，又表示了转角大小（转动四元数）
6. 机体坐标系——
Oxb ybzb
机体坐标系是固连在机体上的坐标系。机 体坐标系的坐标原点o位于飞行器的重心处， x沿机体横轴指向右，y沿机体纵轴指向前， z垂直于oxy，并沿飞行器的竖轴指向上。
3.2四元数理论
四元数 表示
四元数：描述刚体角运动的数学工具 (quaternions) 针对捷联惯导系统，可弥补欧拉参数在描述和解算方面的不足。
惯性导航原理
i
在惯性导航中常用的坐标系有 1. 地心惯性坐标系—— Oxi yi zi 地心惯性坐标系不考虑地球绕太阳的公转运
动，地心惯性坐标系的原点选在地球的中心，它 不参与地球的自转。惯性坐标系是惯性敏感元件 测量的基准，在导航计算时无需在这个坐标系中 分解任何向量，因此惯性坐标系的坐标轴的定向 无关紧要，但习惯上将z轴选在沿地轴指向北极的 方向上，而x、y轴则在地球的赤道平面内，并指 向空间的两颗恒星。
( 3 P 3 v P 12 P 21 )k
或简单表示为 q M v P v P P
※ 关于相乘符号
※ 关于交换律和结合律
四元数基本性质 共轭 范数
3．共轭四元数
仅向量部分符号相反的两个四元数
q(,P) 和 q*(,P) 互为共轭
可证明： (q)h*h*q*
q 4．四元数的范数
四元数表示转动 矢量旋转
如果矢量 R 相对固定坐标系旋转，旋转四元数为 q，转动后 的矢量为 R’，则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现
R' q Rq1
含义：矢量 R 相对固定坐标系产生旋转，转角和转轴由 q 决定
四元数表示转动 坐标系旋转
如果坐标系 OXYZ 发生 q 旋转，得到新坐标系 OX’Y’Z’ 一个相对原始坐标系 OXYZ 不发生旋转变换的矢量 V
定义 qq*q 2P 1 2P 2 2P 3 2
q 1 则称为规范化四元数
四元数基本性质 逆 除法
5．逆四元数
q 1 1 q * qq
当 q 1 时 q1 q*
6．四元数的除法
若 qhM 则 q Mh1 若 hqM 则 q h1M
不能表示为 q M （含义不确切 ） h
四元数表示转动 约定
λ 称作标量部分， P1iP2jP3k 称作矢量部分
四元数的另一种表示法 q , P P 泛指矢量部分
提示：四元数与刚体转动的关系
四元数基本性质 加减法
qP 1iP 2jP 3k
M v1 i2j3k
1．四元数加减法
qM
( v ) ( P 1 1 ) i ( P 2 2 ) j ( P 3 3 ) k
四元数的表示
由一个实单位和三个虚数单位 i, j, k 组成的数
q 1 P 1 iP 2jP 3 k
或者省略 1，写成
qP 1iP 2jP 3k
i, j, k 服从如下运算公式：
四元数 组成部分
i, j, k 服从如下运算公式
i ij jk k 1 ijjik jkkji kiikj
qP 1iP 2jP 3k