2020学年湖北省武汉市华师一附中高一下学期期末数学试题一、单选题1．在ABC ∆中，sin cos sin BA C=，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．正三角形【答案】A【解析】在ABC ∆中，由sin cos sin BA C=，变形为sin cos sin B A C =，再利用内角和转化为()sincos sin A C A C +=，通过两角和的正弦展开判断.【详解】在ABC ∆中，因为sin cos sin BA C=， 所以sin cos sin B A C =， 所以()sincos sin A C A C +=，所以sin cos 0A C =， 所以2C π=，所以ABC ∆直角三角形. 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1nn P P k =+（1k>-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变【答案】A【解析】可以通过n P 与0P 之间的大小关系进行判断． 【详解】 当10k-<<时，()011011nk k <+<<+<，， 所以()001nn P P k P =+<，呈下降趋势．【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断． 3．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 【答案】D【解析】本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c->->，所以a bd c ->-，故a b d c<．故选D4．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1:3，母线长为6cm ，则己知圆锥的母线长为（ ）cm . A ．8 B ．9C ．10D ．12【答案】B【解析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥的轴截面三角形的相似性，通过圆台的上、下底面半径之比为1:3来求解. 【详解】设圆锥的母线长为l ，因为圆台的上、下底面半径之比为1:3， 所以6:1:3l l -=，解得9l=.故选：B 【点睛】本题主要考查了旋转体轴截面中的比例关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．如图是棱长为a 的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线, MN EF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】根据异面直线所成的角的定义，先作其中一条的平行线，作出异面直线所成的角，然后求解. 【详解】 如图所示：在正方体中，//MN EG ，所以FEG ∠直线, MN EF 所成角， 由正方体的性质，知EF EG FG ==， 所以3FEG π∠=.故选：C 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证的能力，属于基础题. 6．设l 为直线，αβ，是两个不同的平面，下列说法中正确的是（ ）A ．若,l l αβ，则αβ∥B ．若,l αβα∥∥，则l β∥C ．若,ll αβ⊥，则αβ⊥D ．若,l αβα⊥，则l β⊥【答案】C【解析】画出长方体，按照选项的内容在长方体中找到相应的情况，即可得到答案 【详解】对于选项A ，在长方体中，任何一条棱都和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A 不正确；对于选项B ，若α，β分别是长方体的上、下底面，在下底面所在平面中任选一条直线l ，都有lα，但l β⊂，所以B 不正确；对于选项D ，在长方体中，令下底面为β，左边侧面为α，此时αβ⊥，在右边侧面中取一条对角线l ，则lα，但l 与β不垂直，所以D 不正确；对于选项C ，设平面m γβ=，且l γ⊂，因为l β∥，所以lm ，又l α⊥，所以m α⊥，又m β⊂，所以αβ⊥，所以C 正确. 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，属于简单题 7．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ） A ．62 B ．63C ．64D ．65【答案】B【解析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解.【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2， 第二组最后一个数是5=2+3，第三组最后一个数是9=2+3+4，……，依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +.当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题. 8．已知下列各命题：①两两相交且不共点的三条直线确定一个平面：②若真线a 不平行于平面a ，则直线a 与平面a 有公共点：③若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线： ④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补. 则其中正确的命题共有（ ）个 A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】①利用平面的基本性质判断.②利用直线与平面的位置关系判断.③由面面垂直的性质定理判断.④通过举反例来判断. 【详解】①两两相交且不共点，形成三个不共线的点，确定一个平面，故正确.②若真线a 不平行于平面a ，则直线a 与平面a 相交或在平面内，所以有公共点，故正确. ③若两个平面垂直，则一个平面内，若垂直交线的直线则垂直另一个平面，垂直另一平面内所有直线，若不垂直与交线，也与另一平面内垂直交线的直线及其平行线垂直，也有无数条，故正确.④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角关系不确定，如图：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角D-AA 1-F 与二面角D 1-DC-A 的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．故错误.. 故选：B 【点睛】本题主要考查了点、线、面的位置关系，还考查了推理论证和理解辨析的能力，属于基础题. 9．，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A ．6π B ．8πC ．12πD ．24π【答案】A【解析】设长方体的棱长为,,a b c ，球的半径为r，根据题意有ab ac bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，再根据球的直径是长方体的体对角线求解. 【详解】设长方体的棱长为,,a b c ，球的半径为r ，根据题意，ab ac bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得222132a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以r =所以外接球的表面积246s r ππ==， 故选：A 【点睛】本题主要考查了球的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10．边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,ED DCF ∆∆分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于1A ，则直线1A D 与平面DEF 所成角的正弦值为（ ）A ．24B ．223C ．33D ．13【答案】D【解析】在正方形中连接BD ，交EF 于点G ，根据正方形的性质，EFDG ⊥在折叠图中DA '⊥平面A EF '，得到DA EF '⊥，从而EF ⊥平面A BG '，面A DG '⊥平面DEF ，则GD 是A D '在平面DEF 上的射影，找到直线与平面所所成的角.然后在直角三角A DG '∆中求解. 【详解】 如图所示：在正方形中连接BD ，交EF 于点G ， 在折叠图，连接A G '，因为,,DA A E DA A F A E A F A '''''''⊥⊥⋂=， 所以DA '⊥平面A EF '， 所以DA EF '⊥， 又因为EFDG ⊥，所以EF ⊥平面A BG '， 又因为EF⊂平面DEF ，所以A DG '⊥平面DEF ，则GD 是A D '在平面DEF 上的射影， 所以A DG '∠即为所求. 因为22A G BG '==22322,2A D DG A D A G '''==+= 1sin 3A G A DG DG ''∠== 故选：D 【点睛】本题主要考查了折叠图问题，还考查了推理论证和空间想象的能力，属于中档题.11．三棱锥A BCD -的高33AH =，若AB AC =，二面角 A BC D --为3π，G 为ABC ∆的重心，则HG 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．10【答案】C【解析】根据AB=AC ，取BC 的中点E ，连结AE ，得到AE ⊥BC ，再由由AH ⊥平面BCD ，得到EH ⊥BC .，所以∠GEH 是二面角的平面角，然后在△GHE 中，利用余弦定理求解. 【详解】 :如图所示：取BC 的中点E ，连结AE ，∵AB=AC ，∴AE ⊥BC ，且点G 在中线AE 上，连结HE . ∵AH ⊥平面BCD ，∴EH ⊥BC .∴∠GEH =60°. 在Rt △AHE 中，∵∠AEH =60°，AH =33∴EH =AHtan 30°=3，AE =6，GE =13AE =2 由余弦定理得HG 2=9+4-2×3×2cos 60°=7. ∴HG 7故选：C 【点睛】本题主要考查了二面角问题，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题.12．己知ABC ∆的周长为20，内切圆的半径为3，7BC =， 则tan A 的值为（ ）A ．B ．1CD ．2【答案】C【解析】根据ABC ∆的周长为20()112022ABC S AB BC AC r ∆=++=⨯=1sin 2ABC S AB AC A ∆=⨯=sin AB AC A⨯=，然后代入余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⨯⨯cos 1A A +=求解.【详解】因为ABC ∆的周长为20所以()112022ABC S AB BC AC r ∆=++=⨯=又因为1sin 2ABCS AB AC A ∆=⨯=所以AB AC ⨯=由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⨯⨯，()()221cos AB AC AB AC A =+-⨯⨯+，所以()491691cos A =-+ ，cos 1A A +=，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为A 为内角， 所以,663A A πππ-=∴=，所以tan A =故选：C 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若存在实数,,x y z ，使向量1BM xAB yAD zAA =++，则23x y z ++=__________．【答案】72【解析】在平行六面体中把向量用BM 用1,,AB AD AA 表示，再利用待定系数法，求得,,x y z .再求解。