典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1. 勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2. 在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐A. CD、EF、GHC. AB、CD GHB. AB、EF、GHD. AB、CD EF3. 直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a 4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*B. 3cmC. -Icni D kinHn題童分标本题着查勾股定理的应用祖：）解龜思路；車题若直接在中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，J\ACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。
所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。
勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。
方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等。
例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。
清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。
”“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。
”冠华兴致勃勃地说。
张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形。
”A. 2cm 恿路分析：d“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。
”绣亚补充说。
几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。
同学们，你算出来了吗？思路分析：1）题意分析：本题考查勾股定理的应用2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答设直角三角形削三边长分别为久"亠如图，则圧二了米c -b c+B 1010（米）.匸解題后的慝曲』这是一道圈读理解奚试蕊这种题型特点鲜明、內容丰富、趙越常规，源于谨本，高干课本*不彳貝考査阅谨能力，而且还综合考杳数学意识和数学嫌合应用能打尤其着查薮字思缝能力和创新意込解题时"一股是通过阅满理解槪念，拿握方法』硕悟思想、抓住本质，然后才能解答间题汀+J知识点二、构造直角三角形使用勾股定理例4；如图,一个长方体形的木柜談在墙角处（与墙面和地面均没有耀隙），有一只蚂蚊从柜阳丿处沿着木柜表面爬到柜角G处.，⑴ 谜你画出蚂觀能够最快到达目的地的可能路径；Q⑵当曲"，^C=4 求蚂蚁爬过的震矩路径的艮亠又c^-b1 -a20 （米）・*十g10丿匕、求点.国到餵短踣径的距篱口思路分析：屮1＞躍分析；卞题苇查勾股定理例应用.P23解题思路；解決此粪间题的关国是把立悴圈形间題转化丸平面图形问题.从而制用勾股定理解决.路径虽无数最短却唯一，要注意养洛哪一条路径是最短的.心解答过程：（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩珈上配4和XCT同.屮r蚂螃能够最快到达目的地的可能》§径有如图的AC1和⑴蚂蛾沿着木柜表面经娃段△禺到爬过的路径的桧是 "押+（4 +对二坷” 蚂軾沿着木柜表贡经线段刀耳到爬过的路徑的长是右二奸遍匚亨二J§§.,最短路径的长是耳=毘屮恥=坐AA = ^=5=—^⑶作耳左丄肚吁码则够、89^沖所求.4解題后的恿考…转化的思想是将夏朶问题特他分解次简单旳I可题，或将陌生的I可題转化为熟悉的间題来处理的一种慝想右法。
如’在许多实际间题中.首先将師习題转化为数学问题，另外，当间题中没有给出直甬三甬形时，通常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。
脣一块直垢三用形的绿地，爲得两直角边长分别为皿 8m•现在妾将绿地扩充成等腰三角形!且扩充部分是以如为直角边的直角三角形‘ 求扩充后等腰三甬形绿地的周长.亠思翳分析：此题如戶圈形将变得很简单，搔圈形解答同网・但若没有图彩，则需藝讨论几种可能的情况.这正是肚无图题前细恩考，分粪讨论保周到二心解答5过程，在Rt△曲C中，ZACB - 90a, AC- & BC-6 f由勾股定理育；AS = 10.犷充部分次RtMOD,扩充成等睡△他氏应分旦卩三种情况’①如图L当= .45=10时，可求得△屈Q的周长酋伽1°②如图h ^AB = SD=W^,可求CD=4t 由勾股定理島应二4■^得△朋D的周长刘20+40"③^圈3)25当AB^底时"设皿二加 r则UD二;r-&由勾股走理得’分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重不漏。
知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用例6：( 1图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。
若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是5,求中间小正方形的面积。
(2)现有一张长为、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形。
(要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据)甲乙Pn題意分析：本题考査湘坤勾股定理进行圈形的拼制剪接』23解題恿路'注青拼接过程中面积是不变的匸K®12S：彳(i)设直第三角形的较长亘角边长为肚较短宜角边长为虬则小正方形的边长酋負—切由题青得a◎ + b = 5①#由勾股定理，得云+沪=13 ②卩①：一②2血= 12.所［真⑺-&二立"—上"—2加二13—12二1 ③即所求的中间小正方形的面积为1」⑺所拼成的正気形的面租为&2 = 1牝酬)所以可按照图甲制由③得宀一3 = Id由①、③组成方程组解爲口 = 3-匕二—结合题意*每个直角三角形的较长直角边只能在妖片e.5cm的畏边上截取，去掉四乍直角三角形后，余下的面积蓟13 ——x3x2x4= 13-12= lfciM3)2 ，恰好等于中间的十正方形的面积.于是，得封朝下分劃拼合方法：解■題后09黒考=这是一道综合题，根据题目所提供的信息是不难解决间题的，但杲，要注意章握和运用好题目所绪的各个有用信息，否则，问题就不容易得到解决-1知识点四*砂应用勾股定理屮例九m以等Hf-ffi形MB审斜辺为直角辺向外作第：个等腰直箱三角形ABA1，再以等BS直角三角形阳衛的斜边対直角边向外作第3个等曉直角三角形AiEB Lf……，如此作下去'若QA=OB=h则第口个等樓直角三角形的更积爲=盟路分析」1＞題意分祈；本题萼查利用勾股定理进行归纳推理Q解題患路：先在RtAABO中，由OA=OB=1求出AB= ^2 ;再在RtAAB龟中，由AE = A 求出九B=l ................ ?再分别求出A AO0-. AABA L^ AAiBEr……的面机从中发现规律！猜想出结论。
叙\z在RtAAEO 中，由ZAOB=?C°i OA=OB=1,可求出AB= V2 , S 丄2>O B-2 >4^1= 2 =2i；RtAAB Ai 中，由ZAiAB=?u% AB=AAi = J_V2 P可求出盘田=2, S a=2xV2 x-JS =1=2°）在RtAAiBBi中，由N1AiBBi=?0% AiB=BBi = 2,可求出AiB】=2 J区耳=3 “a 2=2=24 在RiAAj BaBi中，由^^ = 9^,扎珀=如比=池,可2求出Ei 0g=4i £4= 2x2^2 x 2?/2 =4=22； ............... * 由此可UA猜想§^=2*»* 解題后的恩若；割匕归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相似的对象诳行S寸比，作出归纳制断的一种科学硏究方法.在中苕數学中若查类比归纳法，皆在引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线，由线织咸网.便知识有序化、系统f匕从而使学生拿握知识內在的规律.预习导学屮下一讲我（门将瞬認四辺形的应用.本讲內容是中垮堇点之一，如特殊四辺形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等s縣形）的性质和判定，以圧运肩这些知识解决买际间题.中着中常比迭择题、埴空題、解答题和证胡题諄膨式呈现，近年的中考中文出现了开議题、应用SL阅谨理解题* 学科闾综台题、动点间题、折醫问题等，这些都是热点题型，应引起同学们高度关注.p同步练习（答题吋间；6。
分钟）屮A. AB中点蛀C. AC中点处B. BC中核处屮D. 4；的平分线与朋的兗点处#3.如图,長方体的长为15,贯为10.高为加・点^到点C的距离汽5,貝蚂蚁如果要沿看长方悴的表面从点占爬至唸£,需要爬行的最題距鶴一、选择题21. 如图，每个小正育形00边长为L A.◎是小正方理的顶点.则/A 50°ft. 604 C. 45" D 3C°+J2如圈所示'扣&＞心分别耒示三个村庄，AB=10M米皿米, AC=S00米'在社会主义新农村建设中，为了车富群金生活，拟建一个文化活动中心，宴求这三个村庄到活动中心的距离相奪，则活动中心F处的位貫应在()屮肋C的度数为(C二、填空题赧4.某搂梯的侧面视图如图所示.其中AB二4米，二3『，ZC二沁S園某种活动要求铺设红色地毯，则在曲段楼梯所铺地毯的长JB应为_____ □卩5.已知应AAM的周长是4亠4历・斜迦上的中线长是n piJ S遊= - +J也如匡长方体的底面辺长分别为Mrn和3cm,高为Oum・如果用一丰艮細豪从巨月FfeSl 4 i观i£滬決一圈到丄丸E、需妾cm.如果从点A开始经过4个侧面麵疑«圈到达点B,那么所用细趺最短um. +■*fl7.圏甲是我国古代著名的”赵更弦圏"的示竟图*它是由四个全等的直角三角形圉成的-在RiAABC 若直角辺也C=£, BC=&将四个矗麹三驚理中边长为6的直角辺分别向夕涎长一e,得到图乙所示数学侃车％则这个风车的周按（图乙中的实线）是.屮B. 25C. lCN^ + 5 D35百度文库-让每个人平等地提升自我在花圃內走出了一条'潞他们仅［又少走了_______________ 歩路（假设2歩为1米），却足采伤了花草-#9.如圏所示的圆柱体中底H8的半径是I高为2,若一只小虫从百点出发沿着圆柱悴的侧面爬行到C点，则小主爬厅的最短路程是___________ （结杲保留根号）-屮丁夙车的外围周扶7呻3打）=7如三、解答题"10如图！卫‘ B是:路F仃为东西走向）两旁的两个村庄！曲村到公路』前距离TlC^lkm, B村到公路！的距离BZ）=2km, B村在卫村的南偏东4亍肓向上，屮（1）求出儿行两村之间的距离；屮（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公些汽车站R蔓求饮车鮎到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位苴（保留渚晰的作團痕迹，芥简要写明作陆）.4角你热爱生命吗？那么别浪费时词■因为时间是俎成生.=命的树料--富笛克林试题答案卩1. JH2晶）米」2. 舁3 10, 2肘十16/（或血）【解析】由题育碍’细线从廉月开始艷过4个侧面靈绕一圈到达点3、其最短扶度为将按亏体的四个侧面展幵即可构戚一牛貢第辺分别为理cm和6逊的直角三角形，所以细线的最短长度应沖lOcnii当细线经过四个侧面镰绕口闘h封诙点B的最短长度次2』9 H孑〔或J36+64』）cm*百度文库-让每个人平等地提升自我5. 4»6. 2麗卩7. 解析；(1)肓法一；设肿与CD的奁点矢O,根据题意可得吕=4亍二4J二△血0和厶0QO都是等腰直角三角形.*:.AO = -^2 , BO= 2-^2 B屮-岀占两村之间的距离蔚加二£0十$0 =庞十2症三負圧(km)n 4育陆二=过点対作直绽F的平行缕突丿。