典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。

所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。

勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。

方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等。

例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。

清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。

”“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。

”冠华兴致勃勃地说。

张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。

”绣亚补充说。

几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。

同学们，你算出来了吗？思路分析：1）题意分析：本题考查勾股定理的应用2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答设直角三角形削三边长分别为久 "亠 如图，则圧二了米c -b c +B 1010 （米）.事 解題后的慝曲』 这是一道圈读理解奚试蕊 这种题型特点鲜明、內容丰富、趙越常规， 源于谨本，高干课本*不彳貝考査阅谨能力，而且还综合考杳数学意识和数 学嫌合应用能打尤其着查薮字思缝能力和创新意込解题时"一股是通 过阅满理解槪念，拿握方法』硕悟思想、抓住本质，然后才能解答间题汀知识点二、构造直角三角形使用勾股定理例4；如图,一个长方体形的木柜談在墙角处（与墙面和地面均没有耀隙 有一只蚂蚊从柜阳丿处沿着木柜表面爬到柜角G 处.“⑴ 谜你画出蚂觀能够最快到达目的地的可能路径，Q⑵当 曲 "，^C=4匚⑺以 时.求蚂蚁爬过的震矩路径的长尹又 c^-b 1-a=^U 20 （米）・* 10丿十 g思路分析：屮1＞躍分析；卞题苇查勾股定理例应用.P23解题思路；解決此粪间题的关国是把立悴圈形间題转化丸平面图形问题.从而制用勾股定理解决.路径虽无数最短却唯一，要注意养洛哪一条路径是最短的.心解答过程：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩珈和屮r蚂秋能够最快到达目的地的可自囲径有如图的/q和⑴蚂蛾沿着木柜表面经娃段△禺到G,爬过的路径的桧是 "押+(4 +对二坷” 蚂軾沿着木柜表贡经线段刀耳到爬过的路徑的长是右二奸遍匚亨二J§§.,最短路径的长是耳=毘屮恥=坐AA = ^=5=—^⑶作耳左丄肚吁码则够、89^沖所求.4解題后的恿考…转化的思想是将夏朶问题特他分解次简单旳I可题，或将陌生的I可題转化为熟悉的间題来处理的一种慝想右法。

如’在许多实际间题中.首先将師习題转化为数学问题，另外，当间题中没有给出直甬三甬形时，通常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。

脣一块直垢三用形的绿地，爲得两直角边长分别为皿 8m•现在妾将绿地扩充成等腰三角形!且扩充部分是以如为直角边的直角三角形‘ 求扩充后等腰三甬形绿地的周长.亠思翳分析：此题如戶圈形将变得很简单，搔圈形解答同网・但若没有图彩，则需藝讨论几种可能的情况.这正是肚无图题前细恩考，分粪讨论保周到二心解答5过程，在Rt△曲C中，ZACB - 90a, AC- & BC-6 f由勾股定理育；AS = 10.犷充部分次RtMOD,扩充成等睡△他氏应分旦卩三种情况’①如图L当= .45=10时，可求得△屈Q的周长酋伽1°②如图h ^AB = SD=W^,可求CD=4t 由勾股定理島应二4■^得△朋D的周长刘20+40"③^圈3)25当AB^底时"设二九则UD二;r-&由勾股走理得’80分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重不漏。

知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用例6：( 1图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是5,求中间小正方形的面积。

(2)现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6 块，再拼合成一个正方形。

(要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据)思路分析；屮1)題意分析：本题考查利用勾股定理进行图形的拼剖剪接“2)解题思路，注意拼接过程中面积是不变的“(1)设直角三角形的较长直角边长为Q,较愆直甬边长为b,则小正方彩的边长为a-b a 由题意得存a +b = 5 ① a由勾股定理，得戸+沪=13 ②"① 2—②^2必=12*-*所以(——金2+沪-2於二13-12二1 ③卍即所求的中间4、正方形的面积为1门(2)所拼成的正方彫的面积为6-5x2= 13(^2),所以可按照图甲制作。

“由③得。

-0 = 2由①、③组成方程组解得。

"，b = 2^结合题意，每个直角三角形的较长直角边只能在纟氏片6.5cm的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为13 —— x3x2x4 = 13— 12 = )2 ,恰好等于中间的小正方形的面积.于是，得到以下分剧拼合方法：卩3 cm3cm 0.5cm |\ JTT 少 /、、 、、 、解題后的思考二这是一道综合题，根据题目所扌是供的信息是不难解决 问题的，但是，要注意举握和运用好题目所给的各个有用信息，否则，问 题就不容易得到解决.P 知识点四.妙应用勾股定理卩例二如图，以等腰三角形AOB 的斜辺为直角辺向外作第2个等腰直角 三角财ABAp 再以等Bf 直角三角形AB 山的斜边为直角边向外作第3个等 樱直角三角形AiBBp ……，如此作下去，若0 A=OB=b 则第n 个等腰 直角三角形的酝积鼻= - 22）解題思路：先在世Z\AB0中，由OA=OB = 1求出AB=返：再 在R1AAB 处中，由AB=A A x = ^2求出A 山=2, ；再分别求出△ AOB 、AABA IS AA I BB IS ……的面积，从中发现规律，猜想出结论。

“在 RtAAB0 中，由ZAOB = 90°, OA=OB = 1» 可求出 S jT 2AOB = 2 x[x] = 2 =y 在現△ AB Ai 中，由Z 直i 占B=90°, AB =AAi =1) J >• 意分析；本题若查利用勾股定理进行归纳推理•1血，可求出A]B=2, S2=2x72 x^ = l=2°；在妙知盹】中，由Z1AiBBi=90% AiB=BBi=2,可求出A I B I=2血，S3=2 x2x^ 2=2=21.在RtAAj B2Bi 中，由ZB2A l B1 = 90% A1B1=A L B2= 2^,可2求出B1B2=4, S4= 2 x2庞x2庞=4=22；.................... ,由此可以犒想加严2.a 解题后09思歩类比归纳法是囱种或种以上在某些关糸上表现相似的对彖进行对比，作出归纳利断的一种科学研究方法.在中考数:学中考查类比归纳法，旨衽引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线，由线织成网，使知识有序化、系统化，从而使学生拿握知识內在的规律。

" ■P预习导学亠下一讲我们将讲解四边形的应用，本讲内容是中考重点之一，如特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等膊梯形）的性质和判定，以及运用这些知识解决实际间题.中考中常以选择题、坡空题、解答题和证明题等彩式呈现，近年的中考中又出现了开啟题、应用题、阅凌理解题、学科间综合题、动点问题、折蛊问题等，这些都是热点题型，应引起同学们高度关注.3同步练习（答题吋间:60分钟）a—\选择题卩1. 如图，每个小正方形的边长为1, /、从C 是小正方形的顶点，则厦 A5C 的度数为（A. 90° 2如图所示，盒、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米, AC=800 米，化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 处的 位貫应在（A. AB 中点处C. AC 中点处3. 如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点鸟到点U 的距离天5, 一只蚂D. 3叫在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文 B. BC 中电处 卩 D. ZCffJ 平分线与AB 的交点处“瞅如果要沿着长方体册表面从点占爬到点£ ,需要爬行的最愆距离是（）卩二.塡空题"4.某楼梯的侧酝视图如图所示，其中AB = 4米，Z^C = 30* ,ZC=90°,因某种活动要求铺设红色地毯，则在力$段楼梯所铺地毯的长度应为O 卩5.B5D RtAABC的周长是4亠牛疗.斜边上的中线长是2,则S顽=6如图，长方体的底面边•长分别为lcm和3cm高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点方，坯么所用细线最短需姜cm；如果从点虫开始经过4个侧面缠绕乃圈到达点B,那么所用细线最短____________ cm・卩7.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在gtAABC cp,若直角边AC=6, BC=6,将四个直角三垢形中边长为6的直毎辺分别向夕卜延长一倍，得到图乙所示的"数学风车”, 则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 _______________________________________ 。