《勾股定理》典型例题
例1 在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？
它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.
（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？
（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7，BC =4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72？
解：
（1）边长的平方即以此边长为边的正方
形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直
角三角形的三边为边向外做正方形，如右
图：AC =4，BC =3,
S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC
=(3+4)2－4×2
1×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3，
AC 2+BC 2=42+32=25
∴AB 2=AC 2+BC 2
（2）如图（图见题干中图）
S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×2
1×4×7=121－56=65=42+72
例2 下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a +b 的正方形内.
①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？
②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？
③图中（1）（2）的面积之和是多少？
④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？
解：
①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，
（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.
②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2.
③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.
④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.
因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面
积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.
由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.。