理想低通滤波器
第一幅图为理想低通滤波器变换函数的透视图 第二幅图为图像形式显示的滤波器 第三幅图为滤波器径向横截面
振铃
附录
产生的原因图像在处理过程中的信息量的丢失，尤其是高频 信息的丢失
由卷积定理可知，频率域下的理想低通滤波器H(u, v)必定存在 一个空间域下与之对应的滤波函数h(x, y)，且可以通过对H(u,v)作傅 里叶逆变换求得。产生振铃效应的原因就在于，理想低通滤波器在 频率域下的分布十分线性（在D0处呈现出一条垂直的线，在其他频 率处呈现出一条水平的线），那么不难想象出对应的h(x,y)将会有类 似于sinc函数那样周期震荡的空间分布特性。正是由于理想低通滤 波器的空间域表示有类似于sinc函数的形状，位于正中央的突起使 得理想低通滤波器有模糊图像的功能，而外层的其他突起则导致理 想低通滤波器会产生振铃效应。
理想低通滤波器
截止频率 为分别设 置为
10,30,60,1 60和460
由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。
布特沃斯低通滤波器
n阶布特沃斯滤波器的传递函数为：
D0是截止频率。对于这个点的定义，我们可以这样理解，使 H（u，v）下降为最大值的某个百分比的点。
我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没有 BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
截止 频率 分别 为
10,30 ,60,1 60和 460
比较
2阶布特沃斯低通滤波
高斯低通滤波
梯形低通滤波器
梯形低通滤波器是理想低通滤波器和完全平滑滤波器的折 中。它的传递函数为：
低通滤波器
应用： 字符识别的应用 印刷和出版业 卫星图像和航空图像的处理
左图为字符断裂
右图为卫星和航空图像
高通滤波
频率域的锐化
图像的边缘、细节主要位于高频部分，而图像的模糊 是由于高频成分比较弱产生的。频率域锐化就是为了消除 模糊，突出边缘。因此采用高通滤波器让高频成分通过， 使低频成分削弱，再经逆傅立叶变换得到边缘锐化的图像。
• 理想低通滤波器 • 布特沃斯低通滤波器 • 高斯低通滤波器 • 梯形滤波器
理想低通滤波器
以原点为圆心，以D0为半径的圆内，无衰减地通过所有频率，而在圆 外切断所有频率的二维低通滤波器，成为理想低通滤波器。
D0是一个正常数，D（u，v）是频率域中心点（u，v）与频率矩形 中心的距离
D（u，v）=[(u-P/2)2+(v-Q/2)2]0.5
高斯低通滤波器
高斯低通滤波器是图像处理中常用的另一种平滑滤波器。 它的传递函数为：
H（u，v）=e-D2（u，v）/2D02
D0是截止频率，当D（u，v）=D0时，GLPF下降到其最大 值的0.607处。
高斯低通滤波器
如之前一样，分别是透视图，图像显示和径向剖面图 与BLPF相比，对于相同的截止频率，平滑效果稍弱。
30,
80
结论
理想高通滤波第一幅图振铃现象相当严重，以 至于产生了失真，物体的边界也被加粗了。当D0 逐渐增加时，边缘更清晰，失真更小，而且较小 的物体已被正确滤除。
常用的高通滤波器有：
• 理想高通滤波器 • Butterworth高通滤波器 • 指数高通滤波器(高斯低通
滤波器) • 梯形滤高通波器
理想高通滤波器
二维理想高通滤波器的传递函数为
布特沃斯高通滤波器
n阶巴特沃斯高通滤波器的传递函数定义如下 H(u，v)=1/[1+( D0/D(u，v))2n]
高斯高通滤波器5ຫໍສະໝຸດ 低通滤波频率域的平滑
图像的平滑除了在空间域中进行外，也可以在频率域中进行。由于
噪声主要集中在高频部分，为去除噪声改善图像质量，滤波器采用低通 滤波器H(u,v)来抑制高频成分，通过低频成分，然后再进行逆傅立叶变 换获得滤波图像，就可达到平滑图像的目的。常用的频率域低滤波器 H(u,v)有四种
低通滤波器
4
频率域滤波步骤
1. 大小为M*N的输入图像f（x，y），得到填充参数P=2M，Q=2N 2. 形成大小为P*N的图像fp(x，y) 3. 用（-1）x+y乘fp(x，y)移到变换的中心。 4. 计算3中的图像DFT，得到F（u，v） 5. 滤波函数H（u，v）与F（u，v）相乘 6. 对5得出的结果进行IDFT，并选择其中的实部。 7. 从6得出的左上限提取M*N区域，得到最终处理的图像
高斯高通滤波器的传递函数为
H（u，v）=1-e-D2（u，v）/2D02
从上到下依次 为理想高通滤 波器、布特沃 斯高通滤波器 以及高斯高通 滤波器
高通滤波器
从左往右依次为 透视图、图像表 示和剖面图
2019/11/15
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对比
理想高通滤 波
2阶布特沃斯 高通滤波
高斯高通滤 波
D0 从 左 往 右 分 别 为 15，
布特沃斯低通滤波器
它的特性是连续性衰减，而不象理想滤波器那样陡峭变化，即 明显的不连续性。因此采用该滤波器滤波在抑制噪声的同时，图像 边缘的模糊程度大大减小，没有振铃效应产生。
但是当阶数逐渐变大时，振铃将会变得明显。 二阶是有效的低通滤波和可接受振铃之间好的折中。
阶数分别 为 1,2,5,20
可用于平滑处理，如图像由于量化不足产生的虚假轮廓，常可 用低通滤波进行平滑处理改进质量，通常布特沃斯低通滤波器好于 理想低通滤波。
2
滤波公式
频率域滤波基础
g（x，y）=ζ -1[H(u,v)F(u,v)]
ζ -1 是IDFT，F（u，v）是输入图像f（x，y）的DFT， H（u，v）是滤波函数，g（x，y）是滤波后的输出图像。
DFT
H(u，v)
IDFT
f(x，y) F(u，v)
F(u，v)H(u，v) g(x，y)
滤波
原图像为f(x，y)，经傅立叶变换为F(u，v)。频率域增强就是选 择合适的滤波器H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行处理，然后经逆傅立 叶变换得到增强的图像g(x,y)。
频率域图像增强
图像增强
康祎
主题
图像增强的目的主要包括：①消除噪声，改善图像的视觉 效果；②突出边缘，有利于识别和处理。前面是关于图像空间 域增强的知识，下面介绍频率域增强的方法。
频率域增强是对图像经傅立叶变换后的频谱成分进行处理， 然后逆傅立叶变换获得所需的图像。
频率域
1. 低通滤波 2. 高通滤波 3. 同态滤波增强