其中， f ( x , y )为 ( x , y ) 处的像素的值，如灰度。
M、 N分别为图像的宽、高。
人们观察到的图像一般都是空域描述的。此前讨论的都是空间域 描述的图像。
本章将讨论在频率域描述图像，并在频率域实现图像的平滑与锐化。
4.1. 2 频域描述 （1）概念
用一系列频率的二维正弦波去测量图像，分别求出图像内容沿空间位 置的变化中，是否含有这些频率成分，幅度有多大。 （2）定义
Re[ F(0) ] = (10×cos(0)+12×cos(0)+…+22×cos(0))/16 = 12.81 Im[ F(0) ] = (10×sin(0)+12×sin(0)+…+ 22×sin(0)) /16 = 0
f ( x )的平均值
当u
=1
时，u
2 1
16
0.125
Re[F(1)] [10cos(0) 12cos(0.125 1) ... 22cos(0.125 15)]/16 2.013
本节仅介绍低通滤波和高通滤波 。
➢ 滤波运算方法： 用 窗函数 H(u) 与 F(u) 相乘（内积）。流程如下：
f (x)
傅立叶 F (u) 变换
内积
F (u) 傅立叶 反变换
f (x)
H (u) 窗函数
滤波运算
窗函数： 与 F(u) 中各频率分量对应的一组系数，各系数的大小在 0 ~ 1之间。 窗函数 H(u) 与 F(u) 相乘（内积），就是把各频率分量乘以对应的系数。 当某系数 =1 时，对应的频率分量得以保留； 当某系数 <1 时，对应的频率分量被削弱。
12.81
0 12.81
8 7 -0.187 5.091 0.188
1 12
2.013 1.428 2.468
9 3 -0.488 0.138 0.508
2 14 -1.229 -2.087 2.421 10 5 -0.521 0.216 0.563
3 16 -0.139 -0.744 0.757 11 8 -0.634 0.061 0.637
例如： 一幅 512×512 的图像，不用 FFT 计算，需要计算： 2×（512×512）2 = 137438953472 复数乘法和加法, 按0.1微秒完成一次运算，耗时约3.82小时； 采用 FFT 计算，需要计算： (512×512) log2(237) = 9699328 次复数乘法和加法， 按0.1微秒完成一次运算，耗时约0.97秒；
其曲线如图，求 F(u)。
f (x)
N=16，故傅立叶变换式为：
F (u) 1 15 f ( x)e j2ux /16
16 x0
x
Re[ F (u)]
1 16
15 x0
f
( x) cos(u x),
u
2u
16
Im[ F (u)]
1 16
15 x0
f
( x) sin(u x)
当u =0 时， u 0
叶变换，得到频域函数F (u)：
F (u) f ( x)e j2ux dx
4.1
其中： j 1 , e j2ux cos(2ux ) j sin(2ux )
x 为位置变量，u 为频率变量； f (x)是实函数，F( u )是复函数。 上式表明：若已知空域函数 f (x) ，则可算出以频率u为自变量的频域函数F (u)。 为方便起见，将 4.1 式简记为：
F (u) Re[F (u)]2 Im[F (u)]2
幅角: (u) arctan Im[ F (u)]
Re[ F (u)]
物理含意：
在 f ( x ) 中，含有角频率为 2u / N 的正弦波，其幅度为 F(u) ，相位为 (u)
u = 0,1,…,N-1 或： f ( x ) 由一系列不同频率、相位和幅度的正弦波叠加而成。
傅立叶反变换还原空间域函数的过程如下：
x
f ( x )曲线图
12.81
2.468
F (u)
u
频谱图
……
F(0)
F(0)+ F(1)
F(0)+ …+ F(14) F(0)+ …+ F(15)
结论：
① 空间域函数 f (x, y)可以通过傅立叶变换，转 换成频率域函数F(u)。
x
一般地，低频成分描述曲线的大致轮廓，高
H(u)
1
u u0
H (u) (u u1) /(u0 u1) u0 u u1
1
0
u u1
0 u0 u1
u
常用窗函数介绍（高通滤波）：
（1）理想 高通滤波器
0 H (u) 1
u u0 u u0
（2）Butterworth高通滤波器
1 H (u) 1 (u0 / u)2n
（3）指数高通滤波器
Im{ F (u, v)} 1 M 1N 1 f ( x, y) sin( 2u x 2v y)
MN x0 y0
MN
F(u,v)的模：
F (u, v) Re{F (u, v)}2 Im{F (u, v)}2
F(u,v)的幅角：
(u,
v)
arctan
Im{F Re{F
(u, (u,
vv))}}
f ( x )曲线图
频成分描述曲线的细节。
12.81
② 频率域函数F(u)可以通过傅立叶反变换，转 换成空间域函数 f (x, y)。
2.468
F (u)
③ 除F(0)外，
Re{F(u)}关于N/2对称， Im{F(u)}关于N/2反对称， |F(u)|关于N/2对称。
u
频谱图
计算F(u)仅需计算 0 ~ N/2 范围的值即可。
f(x,y) y
空域描述 f ( x, y )
u
频域描述 F(u,v)
4.2 傅立叶(Fourier)变换
图像函数 f (x, y) 是二维函数。为建立傅立叶变换的概念，先从一维 函数开始。
4.2.1 一维傅立叶变换
（1）傅立叶变换
定义: 连续函数的傅立叶变换。设一维空域函数为 f (x) 。对 f (x) 作傅立
在频域中，图像用如下二维函数描述：
F( u , v ) , 0≤u＜M, 0≤v＜N
其中，u , v 分别为水平变化频率和垂直变化频率；
F ( u , v )为图像中含有( u , v ) 频率的幅度；
M、 N 分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数
量上等于图像的宽、高。
在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化 情况，是分析和处理图像的有力工具。
F (u) F{ f (x)}
4.2
傅立叶变换的离散计算式:
F (u)
1
N 1
f ( x)e j2ux / N
N x0
F(u)的实部:
Re[ F (u)]
1
N 1
2u
f ( x) cos( x)
N x0
N
虚部:
Im[ F (u)]
1
N 1
2u
f ( x) sin( x)
N x0
N
模:
Buterworth, x0 = 30 理想低通, x0 = 30 指数低通, x0 = 30
原函数 f (x)
各种窗函数的高通滤波效果比较
Buterworth, x0 = 30 理想高通, x0 = 30 指数高通, x0 = 30
原函数 f (x)
4.2.2 二维傅立叶变换
（1）二维傅立叶变换的定义 设二维空域函数为 f (x, y) 。对 f (x, y) 作傅立叶变换，得到频域函数F (u,v)：
常用窗函数介绍（低通滤波）：
（1）理想低通滤波器
1 H (u) 0
u u0 u u0
（2）Butterworth低通滤波器
1 H (u) 1 (u / u0 )2n
H(u)
1
0
u0
u
H(u)
1
0 u0
u
（3）指数低通滤波器
H(u) e(u/ u0 )n
H(u) 1
0.5
0 u0
u
（4）梯形低通滤波器
FFT的基本思想
➢ 由傅立叶变换的计算式可看出，其中存在大量的重复计算。 ➢ FFT 采用 “蝶型算法”，近可能地避免重复计算。 ➢ 采用 FFT，使计算量呈数量级的减少。 ➢ 若原计算量为 2n ，则 FFT的计算量为 n×log2(2n)=n。 ➢ 按“蝶型算法”的要求，图像的高、宽均应为2n 。
（3）空域与频域描述的关系
➢ 从物理角度看 空域描述反映的是实物；频域描述反映的是图像内容的变化特性。
➢ 从数学角度看 实际上是坐标变换。 空域描述是在( x , y )空间坐标系上描述图像；频域描述是在( u , v )频 率坐标系上描述图像。两种描述是等效的，可相互转换。
v
x
F( u , v )
例：对心电波的低通滤波
原函数 f (x)，带有大量的 高频干扰。
经过傅立叶变换后的频率 域函数 F(u)。
窗函数
H(u)Biblioteka 11 (u /30
)5
F(u) 与 H(u) 相乘后的频 率域函数，削弱了高频分 量。
经过傅立叶反变换后的空 间域函数 f (x)，高频干 扰基本被滤除。
各种窗函数的低通滤波效果比较
H(u) e(u0 / u)n
（4）梯形高通滤波器
0 H (u) (u u0 ) /(u1 u0 )
1
u u0 u0 u u1 u u1
H(u)
1
0
u0