2010年长春市初中生学业考试数 学 试 题本试卷包括七道大题，共26小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（每小题3分，共24分）1．15的相反数为 （A ）15． （B ）15-． （C ）5． （D ）5-．2．下列几何体中，主视图为右图的是（A ） （B ） （C ） （D ） 3．不等式215x -≤的解集在数轴上表示为（A ） （B ） （C ） （D ）4．今年6月11日，我省九个地区的最高气温与最低气温如图所示，则这九个地区该天最高气温．．．．的众数为 （A ）27℃． （B ）29℃． （C ）30℃． （D ）31℃．5．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个，其中荷包每个4元，五彩绳每个3元．设王老师购买荷包x 个，五彩绳y 个，根据题意，下面列出的方程组正确的是 （A ）203472x y x y +=⎧⎨+=⎩，． （B ）204372x y x y +=⎧⎨+=⎩，．（C ）724320x y x y +=⎧⎨+=⎩，． （D ）723420x y x y +=⎧⎨+=⎩，．6．如图，ABC △中，90C ∠=°，40B ∠=°，AD 是角平分线，则ADC ∠的度数为（A ）25° （B ）50° （C ）65° （D ）70°（第4题）（第2题）7．如图，锐角ABC △的顶点A B C 、、均在O ⊙上，20OAC ∠=°，则B ∠的度数为（A ）40°． （B ）60°． （C ）70°． （D ）80°．8．如图，平面直角坐标中，OB 在x 轴上，90ABO ∠=°，点A 的坐标为(12)，，将A O B△绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应C 恰好落在双曲线(0)ky x x=>上，则k 的值为 （A ）2． （B ）3． （C ）4． （D ）6．二、填空题（每小题3分，共18分） 9．因式分解：2a a -= ．10小的正整数，这个正整数是 （写出一个即可）．11．为了帮助玉树地区重建家园，某班全体师生积极捐款，捐款金额共3200元，其中5名教师人均捐款a 元，则该班学生共捐款 元（用含有a 的代数式表示）． 12．如图，双曲线111(0)k y k x=>与直线222(0)y k b k =+>的一个交点的横坐标为2．当3x =时，1y 2y （填“>”“<”或“=”）．13．如图，P ⊙与x 轴切于点O ，点P 的坐标为(01)，，点A 在P ⊙上，且在第一象限，120APO ∠=°．P ⊙沿x 轴正方向滚动，当点A 第一次落在x 轴上时，点A 的横坐标为 （结果保留π）．14．如图，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于点G F 、，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B E 、，它们关于y 轴对称，点G B 、在y 轴左侧．BA OG ⊥于点A ，BC OD ⊥于点C ，四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则ABG △与BCD △的面积之和为 ．三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：2(1)21x x +-+，其中x =（第6题） （第7题） （第8题）（第12题） （第13题） （第14题）A16．一个不透明的口袋中装有红、黄、白小球各1个，小球除颜色外其余均相同．从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回．再随机摸出一个小球．请你用画树形图（或列表）的方法．求两次摸出的小球颜色相同的概率．17．第16届亚运会将在中国广州举行．小李预定了两种价格的亚运会门票，其中甲种门票共花费280元，乙种门票共花费300元，甲种门票比乙种门票多2张．乙种门票价格是甲种门票价格的1.5倍，求甲种门票的价格．18．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D E 、，量出半径5cm OC =，弦8cm DE =，求直尺的宽．四、解答题（每小题6分，共12分）19．（1）在图①中，以线段m 为一边画菱形，要求菱形的顶点均在格点上．（画一个即可）（3分）（2）在图②中，平移a b c 、、中的两条线段，使它们与线段n 构成以n 为一边的等腰直角三角形．（画一个即可）（3分）图① 图②20．如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（在A 点）到水平地面的距离91cm AD =，沿AB 方向观测物体的仰角33α=°，望远镜前端（B 点）与眼睛（A 点）之间的距离153cm AB =，求点B 到水平地面的距离BC 的长（精确到0.1cm ）．【参考数据：sin330.54=°，cos330.84=°，tan330.65=°】五、解答题（每小题6分，共12分）21．如图，四边形ABCD 与四边形DEFG 都是矩形，顶点F 在BA 的延长线上，边DG 与AF 交于点H ，4AD =，5DH =，6EF =，求FG 的长．22．小明参加卖报纸的社会实践活动．他调查了一个报亭某天A 、B 、C 三种报纸的销售量，并把调查结果绘制成如下条形统计图．（1）求该天A 、C 报纸的销售量各占这三种报纸销售量之和的百分比．（2分） （2）请绘制该天A 、B 、C 三种报纸销售量的扇形统计图．（2分）（3）小明准备按上述比例购进这三种报纸共100份，他应购进这三种报纸各多少份．（2分）六、解答题（每小题7分，共14分）23．如图，ABC △中，AB AC =，延长BC 至D ，使CD BC =．点E 在边AC 上，以CE CD 、为邻边作CDFE．过点C 作CG AB ∥交EF 于点G ，连接BG DE 、． （1）ACB ∠与GCD ∠有怎样的数量关系？请说明理由．（3分） （2）求证：BCG DCE △≌△．（4分）24．如图，梯形ABCD 中，AB DC ∥，904530ABC A AB ∠=∠==°，°，，BC x =，其中1530x <<．作D E A B ⊥于点E ，将A D E △沿直线DE 折叠，点A 落在F 处，DF 交BC 于点G ．（1）用含有x 的代数式表示BF 的长．（2分）（2）设四边形DEBG 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式．（3分） （3）当x 为何值时，S 有最大值，并求出这个最大值．（2分）【参考公式：二次函数2y ax bx c =++图象的顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，】七、解答题（每小题10分，共20分）25．如图①，A 、B 、C 三个容积相同的容器之间有阀门连接．从某一时刻开始，打开A 容器阀门，以4升/分的速度向B 容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B 容器阀门，以10升/分的速度向C 容器内注水5分钟，然后关闭．设A 、B 、C 三个容器内的水量分别为A B C y y y 、、（单位：升），时间为t （单位：分）．开始时，B 容器内有水50升．A C y y 、与t 的函数图象如图②所示．请在010t ≤≤的范围内解答下列问题：（1）求3t =时，B y 的值．（2分）（2）求B y 与t 的函数关系式，并在图②中画出其函数图象．（6分）（3）求A B C 234y y y =∶∶∶∶时t 的值．（2分）26．如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角AOB △的斜边OB 在x 轴上，顶点A 的坐标为(33)，，AD 为斜边上的高．抛物线22y ax x =+与直线12y x =交于点O C 、，点C 的横坐标为6．点P 在x 轴的正半轴上，过点P 作PE y ∥轴．交射线OA 于点E ．设点P 的横坐标为m ，以A B D E 、、、为顶点的四边形的面积为S ． （1）求OA 所在直线的解析式．（1分） （2）求a 的值．（2分）（3）当3m ≠时，求S 与m 的函数关系式．（4分）（4）如图②，设直线PE 交射线OC 于点R ，交抛物线于点Q ．以RQ 为一边，在RQ 的右侧作矩形RQMN ，其中32RN =．直接写出矩形RQMN 与AOB △重叠部分为轴对称图形时m 的取值范围．（3分）图① 图②图①图②2010年长春市初中毕业生学业考试 数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共24分）1.Ｂ2.Ｃ3.Ａ4.Ｄ5.Ｂ6.Ｃ7.Ｃ8.Ｂ 二、填空题（每小题3分，共18分）9.()1a a - 10.1（答案不唯一） 11.32005a - 12.＜ 13.2π314. 4 三、解答题（每小题5分，共20分）15.解：原式=2221212x x x x ++-+=+ ···································································· （3分）当x =时，原式=224+=. ············································································· （5分） 16.解：或········································································································································· （3分）P ∴（两次摸出的小球颜色相同）=13. ········································································· （5分） 17.解：设甲种门票的价格为x 元.根据题意，得28030021.5x x-=. ······················································································ （3分） 解得40x =.经检验，40x =是原方程的解，且符合题意.答：甲种门票的价格为40元. ························································································ （5分） 18.解：过点O 作OM DE ⊥于点M ，连接OD .12DM DE ∴=. 8DE = ，4DM ∴=. ··········································································· （3分） 在Rt ODM △中，5OD OC -= ，3OM ∴===.∴直尺的宽度为3cm. ·························································· （5分）四、解答题（每小题6分，共12分）19.解：（1）以下答案供参考： ········································································································································· （3分）（2）以下答案供参考：········································································································································· （6分） 20.解：过点A 作AE BC ⊥于点E . 在Rt ABE △中，sin BEABα=. ····················································································· （2分）153AB =α=33︒ ，.sin331530.5482.62BE AB ∴=︒=⨯=·. ··································································· （4分） BC BE EC BE AD ∴=+=+ =82.62+91=173.62≈173.6（cm ）.答：点Ｂ到水平地面的距离BC 的长约为173.6cm. ······················································ （6分）五、解答题（每小题6分，共12分）21.解： 四边形ABCD 和四边形DEFG 为矩形，9090DAF DAB G DG EF ∴∠=∠=︒∠=︒=，，. 65EF DH == ，.651GH DG DH EF DH ∴=-=-=-=. 在Rt ADH △中，4AD =，3AH ∴===.90G DAH FHG DHA ∠=∠=︒∠=∠ ，FGH DAH ∴△∽△. ··································································································· （4分） FG GHDA AH∴=. 14433GH DA FG AH ⨯∴===·. ······················································································· （6分） 22.解：（1）46100%20%.4611569⨯=++69100%30%4611569⨯=++.∴该天A C 、报纸的销售量各占这三种报纸销售量之和的20%和30% ······················ （2分） （2）A B C 、、三种报纸销售量的扇形统计图如图所示：········································································································································· （4分） （3）10020%20⨯=（份），10050%50⨯=（份）， 10030%30⨯=（份）.∴小明应购进A 种报纸20份，B 种报纸50份，C 种报纸30分.······························ （6分） 六、解答题（每小题7分，共14分） 23.（1）解：ACB GCD ∠=∠， 理由如下：.AB AC ABC ACB CG AB ABC GCD =∴∠=∠∴∠=∠ ，∥，．.ACB GCD ∴∠=∠ ······································································································· （3分） （2）证明： 四边形CDFE 是平行四边形，A B C 、、三种报纸售量的扇形统计图...EF CD ACB GEC EGC GCD ACB GCD GEC EGC EC GC ∴∴∠=∠∠=∠∠=∠∴∠=∠∴= ∥．，，GCD ACB GCB ECD BC DC ∠=∠∴∠=∠= ，．，.BCG DCE ∴△≌△ ····································································································· （7分） 24.解：（1）由题意，得30EF AE DE BC x AB =====，，230BF x ∴=-．············································································································ （2分） （2）4590F A CBF ABC ∠=∠=︒∠=∠=︒ ，，45BGF F ∴∠=∠=︒．230BG BF x ∴==-.221122DEF GBF S S S DE BF ∴=-=-△△=()221123022x x -- 23604502x x =-+-. ···································································································· （5分） （3）()2233604502015022S x x x =-+-=--+.301520302a =-<<< ， ，∴当20x =时，S 有最大值，最大值为150. ······························································· （7分） 七、解答题（每小题10分，共20分）25.解：（1）当3t =时，504362B y =+⨯=. ····························································· （2分） （2）根据题意，当05t ≤≤时，504B y t =+.当510t <≤，()7010510120B y t t =--=-+. ················································································· （6分）图②B y 与t 的函数图象如图②所示. ······················································································ （8分）（3）根据题意，设234A B C y x y x y x ===，，.234506070x x x ++=++.解得20x =.240360480A B C y x y x y x ∴======，，.由图象可知，当40A y =时，510t ≤≤，此时101201020B C y t y t =-+=+，. 1012060t ∴-+=. 解得6t =.102080t +=. 解得6t =.∴当6t =时，234A B C y y y =∶∶∶∶·········································································· （10分） 26.解：（1）设直线OA 的解析式为y kx =.点A 的坐标为（3，3）.33k ∴=. 解得1k =.∴直线OA 的解析式为y x =. ························································································ （1分） （2）当6x =时，116322y x ==⨯=. C ∴点的坐标为(6，3)，抛物线过点C （6，3）33626a ∴=+⨯. 解得14a =-.················································································· （3分） （3）根据题意，()()3060D B ，，，. 点P 的横坐标m ，PE y ∥轴交OA 于点E ，()E m m ∴，.当03m <<时，如图①，OAB OED S S =△△-S ＝1136339222m m ⨯⨯-⨯=-+. 当3m >时，如图②， 1163322OBC ODAS S m ==⨯⨯-⨯⨯△△-S 93.2m =- ······················································································································· （7分） 图①图②（4）3m =94m =或34m <≤. ··································································· （10分） 提示：如图③，RQ RN =时，3m =如图④，AD 所在的直线为矩形RQMN 的对称轴时，94m =， 如图⑤，RQ 与AD 重合时，重叠部分为等腰直角三角形，3m =；如图⑥，当点R 落在AB 上时，4m =. 所以34m <≤.图③ 图④图⑤ 图⑥。