x2 x2

~ F (1,1)
4. 正态总体的样本均值与样本方差的分布
正态总体 N ( , 2 ) 的样本均值和样本方差
有以下两个重要定理.
定理一
设 X1, X 2, , X n 是来自正态总体N (, 2 )
的样本, X 是样本均值, 则有
(1) X ~ N (, 2 / n).即 X ~ N (0,1)
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
X ~ t(n 1).
S/ n
证明
因为 X ~ N (0,1), / n
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X (n 1)S 2 ~ t(n 1). / n 2(n 1)
n
2
πn

1
n 2


1

t2 n


n1 2


,
t
t 分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t 0对称的.
当 n 充分大时, 其
图形类似于标准正
态变量概率密度的
图形. 因为lim h(t)
1
t2
e 2,
n
2π
所以当 n 足够大时 t 分布近似于 N (0,1) 分布,
1,
因为 1 F
~ F (n2 , n1 ),
所以
P
1 F

F1
(n2
,
n1
)

1


,
比较后得
F1
(n2 ,
n1 )

F
1 (n1,
n2 )
.
即F (n1,
n2 )

1 F1 (n2 ,
. n1 )
用来求分布表中未列出的一些1 分位数.
例
F0.05 (12,9)
证明
F
(n1,
n2 )

F1-
1 (n2 ,
. n1 )
因为F ~ F (n1, n2 ),
所以 P{F F (n1, n2 )}

P

1 F

1 F (n1,

n2
)


1
P

1 F

1
F
(n1,
n2
)

故
P

1 F

1 F (n1,

n2
)

n
(Xi )2
/ n
(2) i1 2
~ 2 (n)
定理二
设 X1, X2 , , Xn 是总体 N ( , 2 ) 的样本,
X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
(1)
(n 1)S 2
2
~
2(n 1);
(2) X 与 S 2 独立.
推论1 设 X1, X2, , Xn 是总体 N ( , 2 ) 的
统计量
Z X1 X2 L X9 Y12 Y22 L Y126
所服从的分布。
解 X1 X 2 X 9 ~ N ( 0, 916 )
3
1
4
(
X1

X2


X9) ~
N ( 0, 1)
13Yi ~ N (0,1) ,i 1,2, ,16
16 i1
由分布的对称性知
t (n) t1 (n)
当 n 45 时, t1 (n) u1 .
t1 (n)
例3 已知 n 10, 0.05, 求t1-（ 10）, t1-（ 15）, t（ 15）
解：t1-0.05 (10) t0.95 (10) 1.8125,
m
独立, 则

2 i
~
2(n1 n2

nm ).
i 1
性质2 ( 2分布的数学期望和方差)
若 2 ~ 2(n), 则 E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
证明 因为 Xi ~ N (0, 1), 所以 E( Xi2 ) D( Xi ) 1, D( Xi2 ) E( Xi4 ) [E( Xi2 )]2 3 2 1, i 1, 2, , n.

2 1
(n)}

12- (n) f ( y)dy 1

的点
2 1
(n)
为

2
(n)
分布的1

分位数.
对于不同的 , n,
可以通过查表求
得1 的分位数的值.
2 1
(n)
例1 设 X 服从标准正态分布N (0,1), N (0,1) 的1
分位数 u1- 满足 P{X u1 }
随机变量 F

U V
/ n1 / n2
服从自由度为( n1 ,
n2 ) 的
F
分
布, 记为 F ~ F (n1, n2 ).
F (n1, n2 )分布的概率密度为

(
y)









n1

n2

n1
n1
2
n1 1
y2
2 n2
n1 n2
n1 2

求 u1 的值, 可通过查表完成 .
1
u1

e
x2 2
dx

1
,
2π
u10.05 u0.95 1.645, 附表2-1
u10.025 u0.975 1.96,
附表2-2
根据正态分布的对称性知
u u1 .
u u 0.95 0.975
例2 设 Z ~ 2 (n), 2 (n) 的1 分位数满足
推论2
设
X1,
X2,
,
X
与
n1
Y1
,
Y2
,

, Yn2
分别是
具有相同方差的两正态总体 N (1, 2 ), N (2 , 2 )
的样本, 且这两个样本互相独立,
设X

1 n1
n1 i 1
Xi
,
Y

1 n2
n2
Yi
i 1
分别是这两个样本的均值,
S12

1 n1 1
n1
~

2 (1),
即
X
2 i
~


1, 2
2 ,
i 1, 2, , n.
因为 X1, X2, , Xn 相互独立,
所以
X
2 1
,
X
2 2
,

,
X n2也相互独立,
根据 伽玛分布的可加性知
2

n i 1
X i 2~
Ga n , 2
2 .
2 (n)分布的概率密度曲线如图.
立
变量的个数.
随机数演示
分布函数与密度函数演示
2(n)分布的概率密度为
f
(
y)

n 22
1 (n)
n1 y
y2 e 2
,
2
0
y0 其他.
证明 因为 2 (1) 分布即为 Ga 1 , 2 分布,
2
又因为 Xi ~ N (0, 1),
由定义
X
2 i
U x1 x2 ~ N (0,1), V x1 x2 ~ N (0,1)
22
22
即有 (U / 2)2 ~ 2(1),(V / 2)2 ~ 2(1)
由F分布的定义得
2
U / 2 2 /1 ~ F (1,1) U / 2 /1
上式左边化简即得
2
Y


x1 x1
(25
)

2 0.9
(25)

34.382.
附表3只详列到 n=40 为止.

2 0.025
(10
)

2 0.975
(8)

2 0.9
(25)
费舍尔(R.A.Fisher)证明:
费舍尔资料
当
n
充分大时,
2 1
(n)

1 2
(u1

2n 1)2.
其中 u1 是标准正态分布的1 分位数.
13Yi
2
~
2 (16)
从而
X1 X2 X9 Y12 Y22 Y126

1 3 4
X1

X2


X9
~
t(16)
16
i 1

1 3
Yi
2
16
3. F分布
设U ~ 2(n1 ), V ~ 2(n2 ), 且U , V 独立, 则称
t1-0.05 (15) t0.95 (15) 1.7531
t0.05 (15) -t1-0.05 (15) -t0.95 (15)
-1.7531
t0.05 (15)
t0.95 (15)t0.95 (10)
例4 设r.v. X 与Y 相互独立，X ~ N(0,16), Y ~
N(0,9) , X1, X2 ,…, X9 与Y1, Y2 ,…, Y16 分别是取 自 X 与 Y 的简单随机样本, 求