第3讲
(2)求轨迹方程的常用方法：
①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；
②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定
本 讲
系数法求方程；
栏 目
线与圆锥曲线的位置关系、平面向量等基础知识，考查运
本 讲
算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形
栏 目
结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．
开 关
易错提醒 (1)先求出点 B 的坐标，再代入抛物线方程即可
求出参数 p 的值，从而得所求的抛物线方程；(2)假设在 y
轴上存在定点 M，使得以线段 PQ 为直径的圆经过点 M， 转化为M→P·M→Q＝0，从而判断点 M 是否存在.
主干知识梳理
第3讲
1．直线与圆锥曲线的位置关系
本
讲
(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：
栏
目
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一
开
关
个一元二次方程．若 Δ>0，则直线与椭圆相交；若 Δ＝
0，则直线与椭圆相切；若 Δ<0，则直线与椭圆相离．
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：
将直线方程与双曲线方程联立，消去 y(或 x)，得到一
高考真题感悟
第3讲
第3讲 圆锥曲线中的热点问题
本 【高考真题感悟】
讲 栏
目 (2012·福建)如图，等边三角形 OAB 的边长
开
关 为 8 3，且其三个顶点均在抛物线 E：x2 ＝2py(p>0)上． (1)求抛物线 E 的方程； (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y＝－1 相交 于点 Q，证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点．
4．轨迹方程问题
栏 目
(1)求轨迹方程的基本步骤：
开 关
①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐
标——解析法(坐标法)．
②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．
③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．
④化简整理方程——简化．
⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．
主干知识梳理
栏 目
即(y21＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.( * )
0≠0)的 y0 恒成立，
所以1y21－＋yy11＝－02，＝0， 解得 y1＝1.
故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1)．
高考真题感悟
方法二 由(1)知 y＝14x2，y′＝12x.
个一元方程 ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0)．
主干知识梳理
第3讲
①若 a≠0，当 Δ>0 时，直线与双曲线相交；当 Δ＝0 时， 直线与双曲线相切；当 Δ<0 时，直线与双曲线相离．
本
讲 ②若 a＝0 时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．
栏
目 (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：
高考真题感悟
第3讲
(1)解 依题意，|OB|＝8 3，∠BOy＝30°.
本 讲
设 B(x，y)，则 x＝|OB|sin 30°＝4 3，y＝|OB|cos 30°＝12.
栏 目
因为点 B(4 3，12)在 x2＝2py 上，
开 关
所以(4 3)2＝2p×12，解得 p＝2.
故抛物线 E 的方程为 x2＝4y.
所以 Q 为x202－x04，－1. 设 M(0，y1)，令M→P·M→Q＝0 对满足 y0＝14x20(x0≠0)的 x0，y0 恒成立．
高考真题感悟
第3讲
由于M→P＝(x0，y0－y1)，M→Q＝x202－x04，－1－y1，
本 讲
由M→P·M→Q＝0，得x20－2 4－y0－y0y1＋y1＋y21＝0，
以 PQ 为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，
第3讲
高考真题感悟
第3讲
交 y 轴于点 M1(0,1)、M2(0，－1)；
取 x0＝1，此时 P1，14，Q－32，－1，
本 讲
以 PQ 为直径的圆为x＋142＋y＋382＝16245，
栏 目 开
交 y 轴于点 M3(0,1)、M40，－74.
关
故若满足条件的点 M 存在，只能是 M(0,1)．
系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲
本
线定义的运用，以简化运算．
讲 栏
(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，
目 开
P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2|x2－x1|或|P1P2|
关
＝ 1＋k12|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用
设 P(x0，y0)，则 x0≠0，y0＝14x20，
本 讲
且 l 的方程为 y－y0＝12x0(x－x0)，
栏 目 开
即 y＝12x0x－14x20.
关
由y＝12x0x－14x20， 得x＝x202－x04，
y＝－1
y＝－1.
所以 Q 为x202－x04，－1.
取 x0＝2，此时 P(2,1)，Q(0，－1)，
开
关 将直线方程与抛物线方程联立，消去 y(或 x)，得到一个一 元方程 ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0)． ①当 a≠0 时，用 Δ 判定，方法同上． ②当 a＝0 时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．
主干知识梳理 2．有关弦长问题
第3讲
有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关
以下证明点 M(0,1)就是所要求的点．
因为M→P＝(x0，y0－1)，M→Q＝x022－x04，－2， 所以M→P·M→Q＝x20－2 4－2y0＋2＝2y0－2－2y0＋2＝0.
故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1)．
高考真题感悟
第3讲
考题分析 本小题主要考查抛物线的性质、圆的性质、直
根与系数的关系，即作如下变形：
|x2－x1|＝ x1＋x22－4x1x2， |y2－y1|＝ y1＋y22－4y1y2.
(2)当斜率 k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利
用两点间距离公式)．
主干知识梳理
第3讲
3．弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不
求法”来简化运算．
本 讲
高考真题感悟
第3讲
(2)证明 方法一 由(1)知 y＝14x2，y′＝12x.
设 P(x0，y0)，则 x0≠0，y0＝14x20，且 l 的方程为
本 讲 栏
y－y0＝12x0(x－x0)，即 y＝12x0x－14x02.
目 开 关
由y＝12x0x－14x20， 得x＝x202－x04，
y＝－1
y＝－1.