圆锥曲线中的热点问题【提高篇】〖考点整合〗命题角度1圆锥曲线中的最值、范围【例1】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，直线x＋3y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为 3.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围.【训练1－1】(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.【训练1－2】已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 命题角度2圆锥曲线中的定值【例2】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为23，斜率为12的直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点为D，且直线OD的斜率为－1 2.(1)求椭圆C的方程；(2)若过左焦点F斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，P为椭圆上一点，且满足OP⊥MN，问：1|MN|＋1|OP|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.【训练2－1】已知椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【训练2－2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 的面积S 为定值，并求该定值.命题角度3 圆锥曲线中的定点问题P 在y 轴上的投影是Q ，且2PA →·PB→＝|PQ →|2. C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B坐标为(1，0))的最大值.【训练3－2】已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形.(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM .点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点.命题角度4 圆锥曲线中的存在性问题【例4】设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，C 为椭圆M上的点，且∠ACB ＝π3，S △ABC ＝33.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E ，F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE →·DF→为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由.的离心率为12，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，F 为其右焦点. ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直l 的方程；若不存在，请说明理由.F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B C 于点Q .(1)D 是抛物线C 上的动点，点E (－1，3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值；(2)是否存在实数p ，使|2QA→＋QB →|＝|2QA →－QB →|？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由.〖对接高考〗1.若双曲线x 2λ－y 21－λ＝1(0<λ<1)的离心率e ∈(1，2)，则实数λ的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B .(1，2) C .(1，4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 2.已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P A .210－5 B .210－4 C 3.(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C 点.过F 2作C A. 5 B .2 4.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋_______时，点B 横坐标的绝对值最大. 5.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.6.已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.7.(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．8.(2019·全国Ⅱ卷)已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i）证明：PQG△是直角三角形；（ii）求PQG△面积的最大值.9.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C：y=22x，D为直线y=12-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.10.(2019·北京卷)已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；0的直线l交抛物线C于两点M，N，直．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y 轴的负半轴上．若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率．12.(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.13.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.14.已知动圆M 恒过点(0，1)，且与直线y ＝－1相切.A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称， ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)过点P (2，1)，且离心率e A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值.16.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝53上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM→＝NQ→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.17.在平面直角坐标系xOy中，过点C(2，0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由.18.如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上任一点(不与A，B重合).已知△PF1F2的内切圆半径的最大值为2－2，椭圆C的离心率为2 2.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l过点B且垂直于x轴，延长AP交l于点N，以BN为直径的圆交BP于点M，求证：O，M，N三点共线.19. 已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(－2，y0)是C上一点，且|MF|＝2.(1)求C的方程；(2)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形P AQB是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由.20. 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且△PF1F2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线 PF 2斜率为 ()0k k ≠，且PF 2与椭圆C 的另外一个交点为Q ，是否存在点()0T t ，，使得|TP |=|TQ |，若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点AB 分别是椭圆C 的左右顶点.(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 分别是椭圆和圆上的动点（P ，Q 位于y 轴的两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：∠MQN 为定值.22.已知点P 32⎛⎫ ⎪⎝⎭1，-在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，椭圆C 的左焦点为(－1，0). (1)求椭圆C 的方程； ，N 两点，AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且 若存在，请求出m 的值；若不存在，请说的离心率为32，且过点A (2，1).若P ，Q 是椭圆C 上的两轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，。