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数字信号处理
这么一来，x(n)、w(n)和y(m)三个序列的关系就是
y(m) w(Dm) x(Dm) (D是正整数 )
(9.7)
将这个关系应用到公式(9.5)，得到
Y (z) w(Dm)z m (变量代换Dm n和m n / D)
m
w(n)(z1/ D )n (利用公式(9.6)))
D
e
j
2 D
k
)
D k0
(9.13)
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只要将z=ejω代入上式，就可以得到抽取的频谱关系
Y (e j )
1
D1
X
(e
j /
eD
j 2 D
k
)
1
D1
j 2k
X (e D )
D k0Βιβλιοθήκη D k0(9.14)
借鉴X(ejω)=X(ω)的关系，还能将抽取的频谱关系(9.14) 变为简单的形式
Y ()
1
D1 2k
X(
)
D k0
D
( y(m)的采样率 f y
fx ) D
(9.15)
该式 说明 ：按 照时 序间 隔 D对x(n)抽 取后得 到 序列 y(m)，它的频谱Y(ω)是D个X(ω)变形后相加的结果。
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（2）从模拟域的角度观看
X
s2
(
)
CTFT
[ xs2
(t)]
1 Ts2
X a (
j
s2 j)
(9.17)
高采样率fs1和低采样率fs2的关系是fs2=fs1/D。
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为设了j=D获i+得k两，种k=采0 、样信1 、号…xs1、(t)D和-1x，s2(t并)之将间这的个频关谱系关代系入， xs2(t)的频谱(9.17)，得到
(9.9)
根据离散傅里叶级数的定义(3.79)，这个周期脉冲序 列可以表示为
s(n)
1
D 1
j 2 kn
S(k)e D
D k0
1
D 1
2 j kn
1e D
D k0
(参考定义(3.78)，系数S (k )
D1
j 2
s(n)e D
kn
)
n0
(9.10)
让脉冲序列s(n)与被抽取序列x(n)相乘，就得到w(n)和
x(n)的采样关系 w(n) x(n)s(n)
(9.11)
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它是一种等间隔的数字采样关系。利用这个关系(9.11) 和公式(9.10)，临时序列w(n)的z变换是
W (z)
x(n)s(n)z n
[x(n)
1
D 1
e
j
2 D
kn
z
n
]
(交换累加顺序)
y(m) x(Dm) (抽取的间隔 D是正整数 )
(9.1)
这种做法叫做抽取，也叫下采样。例如时序间隔D=2 的抽取，
图9.1
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9.2.1 抽取前后的频谱 抽取的概念很像模拟信号的采样概念。 （1）从数字域的角度观看 根据z变换的定义(4.31)，抽取的序列y(m)的z变换
多采样率的应用非常广泛，在现代的数字信号处理应 用中，要求系统能够处理不同采样率的信号。这种有 多种采样率的系统叫做多速率系统。
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9.2 整数倍降低采样率
在数字域中降低采样率的方法是对原序列x(n)重新采 样，也就是对x(n)按固定的间隔或距离提取样本，形 成一个新的序列y(m)，
考虑用两种周期的脉冲函数(4.4)对模拟信号xa(t)进行 理 想 采 样 (4.5) 。 根 据 公 式 (4.9) 计 算 第 一 种 采 样 信 号 xs1(t)的频谱，得到
X s1 ( )
CTFT [xs1 (t)]
1 Ts1
Xa
i
(
s1i)
同理，第二种采样信号xs2(t)的频谱是
(9.16)
Y (z) y(m)z m (设y(m)的采样率是f y ) m
x(Dm)z m (根据抽取的关系(9.1)) m
(9.5)
为了得到Y(z)和X(z)之间的关系，引入一个临时序列
w(n)
x(n) 0
(n 0, D, 2D, ) (n 其它)
(w(n)的采样率等于x(n)的采样率f x ) (9.6)
n
n
D k0
1
D1
[
x(n)e
j
2 D
kn
z
n
]
1
D 1
[
x(n)(ze
j
2 D
k
)
n
]
D k 0 n
D k 0 n
(9.12)
1
D1
j 2 k
X (ze D )
(依据x(n)的z变换的定义)
D k0
将它代入公式(9.8)，就可以得到X(z)和Y(z)的关系
Y (z)
1
D1
X
(
z1/
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9.1 多采样率的概念
多采样率是指数字信号处理系统中存在多种采样频率 的情况，简称多速率，它是面对不同的应用选择不同 的采样率的策略，目的是降低数字信号处理器的成本。
多采样率技术主要解决多速率信号处理的问题，它的 宗旨是尽量让一种速率的数字系统能够处理多种速率 的信号。如何提高多速率信号的处理效率呢？答案是： 改变数字信号的采样率，使数字信号主动地适应加工 处它的数字系统。
(9.8)
n
W (z1/ D ) (根据z变换的定义(4.31))
它是Y(z)通向X(z)的桥梁。剩下的任务是找到W(z)和 X(z)的关系。为了建立w(n)和x(n)的采样关系，我们 制作一个周期是D的脉冲序列，即
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s(n) (n Di) (它将发挥采样的作用 ) i
1 D
D 1
X s1 (
k 0
s2 k )
它显示两种采样率的信号xs1(t)和xs2(t)的频谱关系。
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无论是从数字域的角度还是从模拟域的角度观察抽取， 它们的结论(9.15)和(9.18)都是低采样率频谱是高采样 率频谱位移的组合。
9.2.2 防止抽取的失真 完整的抽取器由数字低通滤波器和抽取器组成，
X s2 ( )
1 Ts2
D1
X a [
i k 0
s2 (Di
k)]
(交换累加顺序)
1 Ts2
D1
X a [(
k 0 i
s2k)
D s2 i]
(利用s1 Ds2 )
(9.18)
Ts1 Ts2
D1 1 {
T k 0 s1
X a [(
i
s2 k )
s1i]}
(利用Ts2 DTs1和公式(9.16))