热能动力机械 CAD/CAE/CAM
第三章 计算机图形学基础
一、计算机绘图技术的发展现状
计算机绘图技术起源于20 世纪50 年代，现在 计算机绘图技术已进入开放式、标准化、集成化和
智能化的发展时期。计算机绘图技术不仅在工程设
计领域得到广泛应用，而且已延伸到艺术、电影、 动画、广告和娱乐等领域，产生了巨大的经济效益 和社会效益，在国民经济和科技进步中起到了不可 替代的作用。
若a=d=1，为恒等变换，变换后的图形不变； 若a=d≠1，>1时为等比例放大，<1时为等比例缩小； 若a≠d，图形在x，y两个坐标方向以不同的比例变换。
（2）对称变换
a b 0 x' y' 1 x y 1 c d 0 ax cy bx dy 1 0 0 1
O
x'
y ' 1 x
0 1 0 1 0 0 y y 1 0 0 1
x 1
⑤ - 45°线对称
Hale Waihona Puke 'y ' 1 x
0 - 1 0 - 1 0 0 y y 1 0 0 1
x 1
（3）旋转变换
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Txoz
1 0 0 - 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
3、错切变换
1 b c d 1 f T h i 1 0 0 0
0 0 0 1
x'
y' z ' 1 x y z 1 T x dy hz bx y iz cx fy z 1
X O
其中：l为x方向平移量，m为y方向平移量。
二维图形基本变换矩阵讨论：
a b p c d q T l m s
特点：图形变换 矩阵都是相对于 原点的变换矩阵
a T1 c
b 比例、对称、错切、 d 旋转等基本变换；
T 2 l m 实现图形平移变换；
a d T h l
b c p e f q i j r m n s
右下角子矩阵：
比例变换。
1、比例变换
a 0 T 0 0 0 0 0 e 0 0 0 j 0 0 0 1
x'
y' z ' 1 x
y
z 1 T ax ey
图形标准 软 件 标 准
GKS 图形核心系统 PHIGS 程序员层次交互图形系统
图形和图像编码
CGM计算机图形元文件编码 CGI 计算机图形接口编码 IGES初始图形交换规范 STEP 产品模型数据交换标准
数据交换标准
四、图形几何变换
计算机图形学的核心基础，是CAD/CAM系
统必不可少的重要内容，也是实现动态仿真、虚
(3) 旋 转 变 换
对于三维变换，要注意矩阵乘法也不满足交换律。
5）三维图形的投影变换
将三维坐标表示
的几何形体变为二维
图形的过程称为投影 变换。 根据投影中心与 投影平面之间距离的
不同，投影可分为平
行投影和透视投影
平行投影
(1) 正投影变换
(三视图)
机械设计中 通常需要将三维
图形转换成二维
工程图，其变换
(2) 正轴侧投影变换
将三维图形依次绕两个坐标轴转一定的角度后，
再向包含这两个坐标轴的平面作正投影变换。 例如，先绕Y轴旋转β角，再绕X轴旋转α角，然 后再向XOY 平面作投影。
Tx
0 1 0 cos 0 sin 0 0
0 sin cos 0
0 0 0 1
（2）绕y轴旋转a角的 变换矩阵：平行于xoz
cos 0 Ty sin 0
0 sin 1 0 0 0 cos 0
0 0 0 1
例：平面三角形 A 齐次坐标矩阵可以表示为：
x
x1 A x2 x3
y1 1 y 2 1 y3 1
3 A 1 o 2
y
若图形 A 经过某种变换后得到图形 B 则有： B = A ·T
2）二维图形的基本几何变换
比例变换 基 本 变 换 对称变换 旋转变换
平移变换
主 要 功 能 图形控制 图形文件处理
基本功能
交互处理功能
尺寸驱动的变量设计能力 参数化建图库工具 高级语言的接口 高级功能
基本绘图指令软件
功 能
软 使用情况 件 类 型
子程序软件包 图形支撑软件 交互式绘图软件
标准机械零件图形软件 机械装配图绘制软件
专用图形软件
服装设计软件 建筑图设计生成软件 电子线路板绘图软件
错切变换
透视变换
a b p c d q T l m s
（1）比例变换
a 0 0 T 0 d 0 0 0 1
坐标点 (x , y , 1) 变换运算：
x'
y ' 1 x
a 0 0 y 1 0 d 0 ax dy 1 0 0 1
基本变换矩阵之积称为复合变换矩阵。
(1) 图形相对于任一点(e，f )作旋转θ角的旋转变换
(2) 图形相对于任一点( e, f )作缩放A倍的比例变换
(3) 图形相对于任意直线 ax+by+c=0 作对称变换
b arctan( ) a
4）三维图形的基本几何变换
左上角子矩阵：比例、对 称、错切和旋转变换 左下角子矩阵： 平移变换； 右上角子矩阵： 透视变换；
p T3 q
实现图形透视变换； 实现图形全比例变换， s>1等比例缩小； 0<s<1等比例放大。
T 4 s
3）二维图形的复合变换
工程应用中的图形变化都是多种多样 的，只有对图形连续进行多次基本几何变 换后才能达到要求。
这种由几个基本变换有序地结合所构
成的变换称为组合变换或复合变换。多个
拟现实(VR)技术的基础。
图形由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关
系以及组成图形的面和线的表达模型所决定。
图形变换就是将图形上点的坐标变换成新图 形上对应点的坐标，图形的几何变换是点的坐标
变换。
只改变图形的顶点坐标和面、线的表达模型
的参数，不会改变它们的拓扑关系，而且面、线
的表达模型参数也由相关的顶点坐标所确定。
绕坐标原点旋转，逆时针为正，顺时针为负
x'
x
y ' 1 cos y 1 - sin 0 sin cos 0 0 0 1
x cos y sin
x sin y cos 1
（4）错切变换
x '
y ' 1
1 b 0 x y 1 c 1 0 0 0 1 x cy bx y 1
Y B' A' O A B C' C
x'
y ' 1 x
X
x y 1
③ 对原点对称
1 0 0 x' y' 1 x y 1 0 1 0 0 0 1
B'
C
A O A'
B
X
x y 1
C'
④ 45°线对称
A
C
B B' A' C' X
jz 1
其中，a，e，j分别为x，y，z方向的比例因子。
2、对称变换 相对于xoy平面、yoz平面和xoz平面三个坐
标平面的对称变换矩阵分别为：
1 0 0 0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 0 1 0 0
Txoy
Tyoz
- 1 0 0 0
1）齐次坐标
定义：用 N+1 维向量表示一个 N 维向量。 对于一个 N 维空间位置矢量，在正常坐标
下表示为 [x1 , x2 , x3 , … , xn ]，
在齐次坐标下该矢量应该表示成 N+1 维空
间位置矢量 [ hx1 , hx2 , hx3 , … , hxn , h ]。
当 h 取不同值时，一个N维空间位置矢量在
其中：c为x方向错切系数，b为y方向错切系数。 ① 当b=0, x’=x+cy。c>0沿+x方向错切；c<0沿-x方向错切。
② 当c=0, y’=bx+y。b>0沿+y方向错切； b<0沿-y方向错切。
（5）平移变换
x '
y ' 1 0 0 1 0 m 1 1
m
Y
1 0 x y 1 l x l y m
换具有统一的变换矩阵格式，并可以将这些变换
结合在一起进行组合变换，同时也便于计算。
对于由多个点、线、面组成的N维图形，有
V* = V ·T
式中：
V 为变换以前图形的顶点齐次坐标矩阵；
V*为变换以后图形的顶点齐次坐标矩阵； T 为图形变换矩阵。 对于二维图形，T 是3×3 阶齐次矩阵； 对于三维图形，T 是4×4 阶齐次矩阵。 图形变换的主要工作就是求解变换矩阵T。
其中：d、h：沿x方向的错切系数；
b、i： 沿y方向的错切系数；
c、f： 沿z方向的错切系数。
4、平移变换
1 0 0 1 T 0 0 l m
0 0 0 0 1 0 n 1
l，m，n 为x，y，z三个坐标方向的平移量。
5、旋转变换 （1）绕x轴旋转a角的 变换矩阵：平行于yoz
可认为是一组约
定的组合变换。
主视图变换矩阵（令y＝0）