13
•7）如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统 的输出或响应。 •8）如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出 量的实验方法，确定系统的传递函数。
•9) 传递函数与脉冲响应函数一一对应. 脉冲响应函数是指系统在单 位脉冲输入量作用下的输出。
(t
)
0
t0 t0
(t)d (t)
15
传递函数的零点和极点同时表示在复数平面上的图形, 叫
做传递函数的零极点分布图。
例如 :
j
x1
G(s)(s3)ss(222s2)
x -3 -2 -1 0
x -1
图2-4零极点分布图
图中零点用“o”表示, 极点用“×”表示。 传递函数的这种形式及零极点分布图在根轨迹法中使用较 多。
16
•(2) 时间常数表达式
传递函数:
G (s)C R ((s s))b a 0 0 s sm n b a 1 1 s sm n 1 1 b a m n 1 1 s s a b m n
n≥m
方框图 r(s)
G(s)
c(s)
C(s)=G(s)·R(s)
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2.3.2传递函数的实际意义 1）现实的控制系统多是零初始条件。 2）在输入没加入之前，认为输入恒等于零。 3）对于非零初始条件所产生的影响，可用叠加原理来进行处理。
r(t) 输入量 c(t) 输出量
在零初始条件下:
•
c(0)c(0) c(n 1 )(0)0 n个
•
r(0)r(0) r(m 1 )(0)0 m个
拉氏变换:
[ a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n ] C ( s ) [ b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m ] R ( s )
2.3.3传递函数的性质
1) 传递函数是一种数学模型, 与系统的微分方程相对应。 2) 是系统本身的一种属性, 与输入量的大小和性质无关。 3) 只适用于线性定常系统. 4) 传递函数是单变量系统描述,外部描述。 5) 传递函数是在零初始条件下定义的, 不能反映在非零初始条件下 系统的运动情况。 6) 一般为复变量 S 的有理分式, 即 nm。且所有的系数均为实数。
r1(t) c1(t) r2(t) c2(t)
r1(t)+r2(t) c1(t)+c2(t)
(2)齐次性：保持比例因子
ar(t) ac(t)
非线性系统
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设单输入单输出线性定常系统:
a 0 c ( n ) a 1 c ( n 1 ) a n c b 0 r ( m ) b 1 r ( m 1 ) b m r
•式中, i、Tj称为时间常数; K 称为传递系数或静态增益。
由拉氏变换的终值定理, 当S→0时, 描述时域中t→∞时的性能, 此时 系统的传递函数就转化为静态放大倍数即
2
2.2.2实际物理系统线性微分方程的一般特征 • 线性定常方程形式：
a 0 c ( n ) a 1 c ( n 1 ) a n c b 0 r ( m ) b 1 r ( m 1 ) b m r
r(t) 输入量 c(t) 输出量
•从工程可实现的角度来说，该方程满足以下的要求： •1.方程的系数为实常数，由物理系统自身参数决定。 •2. 输出的阶次都高于或等于输入的阶次。 •3.方程两端各项的量纲都是一致的。
电荷q
速度v
角速度
电流I
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2.3 控制系统的复域数学模型——传递函数
2.3.1传递函数的定义
•传递函数：在线性定常系统中, 当初始条件为零时, 输出量的拉普 拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比.
线性系统 ———— 满足叠加原理
激励 r(t)
物理系统
c(t) 响应
(1)叠加性：线性系统内各个激励产生的响应互不影响
G (s ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 a b m n - 1 1 s s b a m n K ( ( T 1 1 s s 1 1 ) )T 2 2 2 2 ( s s (2 2 2 2 T 2 2 s s 1 1 ) ) ( ( T ijs s 1 1 ) )（2-14）
二章控制系统的数学模型
2.1 数学模型的特点及类型 •系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。
若系统当前输出仅由当前的输入所决定，称为静态系 统或稳态系统。
若当前输出不仅由当前输入所决定，而且还受到过去 输入的影响，这样的系统称为动态系统。 •数学模型：描述系统动态特性及各变量之间关系的数学 表达式。
•式中,z1,z2,…,zm 是分子多项式等于零时的根, 同时使 G(s)=0, 故 称为传递函数的零点;
•p1,p2…,pn 是分母多项式等于零时的根, 同时使G(s)=∞, 故称为传 递函数的极点(又称特征根);
•kg=b0/a0, 称为传递系数或根轨迹增益。传递函数与它的零点、极 点和传递系数一一对应。
和分母多项式经分解后可写成各种形式。
•(1) 零极点表达式
（2-13）
G ( s ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 a b m n - 1 1 s s b a m n K g ( ( s s p z 1 1 ) )s s ( ( z p 2 2 ) ) ( ( s s z p m n ) )
•定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式， 就是相似系统，而在微分方程中占据相同位置的物理量， 叫做相似量。
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表2-1 相似系统中的相似变量
弹簧阻尼系统 机械系统源自电系统力F转矩T
电压u
质量m
转动惯量J
电感L
黏性摩擦系数f 黏性摩擦系数f
电阻R
弹簧系数k
扭转系数k 电容的倒数1/C
位移x
角位移
1
当单位脉冲输入系统时，R(s)=L[(t)]=1
C(s)=G(s)C(s)=G(S)
（2-11） 因此系统的输出为
•反变换得脉冲响应：L-1[G(s)]=g(t)
r(t)
(t) 0
(t)
g(t)
G(s)
t 图2-3系统的脉冲响应
(2-12)
c(t) g(t)
0
t
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2.3.4传递函数的微观结构
•线性定常系统的传递函数都是复变量 S 的有理分式, 其分子多项式