控制系统的数学模型在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。

自动控制系统的组成可以是电气的、机械的、液压的或气动的，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。

因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型的外部特征，研究其内在的共性运动规律。

通过本章的学习，我们要掌握三种数学模型：微分方程、传递函数、动态结构图的建立方法。

熟练掌握自动控制系统传递函数的求取方法。

§2—1 列写微分方程的一般方法微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。

建立系统或元件微分方程的一般步骤如下：（1） 根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量； （2） 根据物理或化学定律，列写系统各组成元件的原始方程；（3） 在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线性化处理；（4） 消去中间变量，得出描述输出量和输入量（包括干扰）关系的微分方程，即元件的微分方程；（5） 对求出的系统微分方程标准化。

即将与输出有关的各项放在等号左侧；而将与输入有关的各项置于等号右侧，等号左右侧各项均按降幂形式排列。

例：列写下图所示RC 网络的微分方程。

解：1、明确输入、输出量输入量：RC 网络的电压u r ；输出量：u c2、建立输入、输出量的动态联系根据电路理论的基尔霍夫电压定律，任意时刻，网络的输入电压等于各支路的电压降和，即u u c r Ri += (1)dtd Ci u c= ………（2）（i 为网络电流，是一个中间变量） 3、消除中间变量-+-将（2）式代入（1）式得u u u c cr dtd RC+= 4、系统的微分方程的标准化 u u u r c cdtd RC=+ 例2：列写下图所示RLC 网络的微分方程。

（零初始条件） 解：1、明确输入、输出量输入量：u i ； 输出量：u c 2、列写个组件的原始方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++=)3()2()1( dt d C i dt di LiR u u u u u c L c L i （i 为网络电流，是一个中间变量） 3、消除中间变量将（3）分别代入（1）、（2）则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=)5()4(22 t u d u u u u u d LC dt d RC cL c L c i将（5）代入（4）则得u t u d u u cc c id LC dt d RC++=224、系统的微分方程的标准化u u u t u d i c c c dt dRC d LC =+++22即为所求的微分方程例3：列写下图所示RL 网络的微分方程。

（零初始条件）1、明确输入、输出量输入量：u r ；+-c+-输出量：u c 2、列写个组件的原始方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=)3()2()1( dt di LRi iR u u u u L c L r 3、消除中间变量将（3）分别代入（1）则得)4( dtdi LiR u r +=由（2）得)5( Ri u c=将（5）代入（4）得dtd R L u u u cc r += 4、系统的微分方程的标准化u u u r c cdtd R L =+ 即为所求的微分方程 §2—2 非线性方程的线性化控制系统的实际组成元件，几乎程度不同地都具有非线性特性。

求出的系统微分方程常常是非线性方程。

由于非线性微分方程的求解很困难，如果能把非线性方程转化为线性方程，将为系统的分析和计算提供很大的方便。

由于许多实际控制系统的输入量和输出量是围绕平衡工作状态进行小范围变化的，故可采用泰勒级数展开法，略去二次以上的高次项，进行小偏差线性化处理，所得到的线性微分方程称为系统的线性化数学模型。

也就是说，如果实际上的x 只是在某平衡工作点x 0附近小范围变化，则在x 0附近以直线代替曲线就较为合理。

设元件的输入量)(t x 和输出量)(t y 的非线性函数为：)(x f y =在工作点（平衡点）),(00y x 的邻域内，对非线性函数可表示为泰勒级数：即++++-+=--)()(0)(!10)(!21)()()(02202000x x xx d x x x x d x x x nn nd f n d f x dx df f y 略高阶无穷小（因为变量x 偏离工作点x 0的范围较小，所以增量)(0x x -的高次项可以忽略不计，故可以近似得到)()()()()(000000x x y x x x x dxdf x dx df f y -+=-+= 即 )(00x y x k y -=- 式中dxdf k x )(0=，)(00x y f = 上式表示了单变量系统在工作点处小偏差线性化的基本方程。

系统的输入、输出只是在工作点附近的微小变化，至使)(0x x -很小，其高次项可忽略。

这个假设是符合自动控制系统的。

因为对于闭环系统而言，只要有偏差，就产生控制作用，以抑制偏差，所以各变量只能在平衡点做微小运动。

例：工业中常用孔板和差压变压器测量流体的流量。

通过孔板的流量Q 与孔板前后的差压P 的平方根成正比，即P k Q =（k 为常数）设系统在流量值Q 0附近作微小变化，将流量方程线性化。

解：首先对方程两边求导Pkdp dQ 2= 则根据小偏差线性化的基本方程，则)(2)(00000p p p dp dQ Q p kp pQ -=-=-即流量方程线性化方程为p k Q p ∆=∆02§2—3 传递函数微分方程是从时间域中描述系统的动态方程的数学模型，在给定输入量和初始条件时，就可求得系统输出响应的解。

这种方法虽然比较直观准确，但用于分析设计高阶系统时，就显得繁琐。

因为高阶系统的求解比较困难，而且看不出系统的结构，参数对系统输出解的影响。

如果输出响应不合要求就不知如何去改变系统的结构参数，而且如果每次改变结构参数，就得重新编写微分方程。

线性定常系统微分方程经过拉氏变换，就可得到系统在复频域中的数学模型，称为传递函数。

传递函数不仅可以表示系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构和参数对性能的影响，从而使分析和设计大为简化，在经典控制理论中，广泛应用的频率法和根轨迹法都是建立在传递函数这一数学模型基础之上的。

因此，传递函数是经典控制理论中最基本，也最重要的数学模型。

一、传递函数的定义定义：零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。

即 输入量的拉氏变换式输出量的拉氏变换式传递函数=)s (G在古典控制理论中，主要讲单输入单输出线性定常系统，设微分方程为：)t (r )t (r )t (r )t (c t )t (dc )t (c )t (c b tb t b a a t a t a m 1110n 1-n 1110+++=++++---- m m m m n n n n d d d d d d d d d 式中：)(t c 为输出量，)(t r 为输入量，b b b a a a m 10n 10,,,, 及均为由系统结构参数决定的常数。

在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换，得象方程：)()()()(b b b a a a a m 110n 1-n 110s R s C s s s s s m m n n +++=++++-- 则系统传递函数a a a ab b b b n1-n 110m1-m 110)()()(+++++++++==--s s s R s C s G s s s s n n m m 分子为象方程的输入端算子多项式；分母为象方程的输出端算子多项式（亦即微分方程的特征式）。

二、关于传递函数的几点说明1、传递函数是经拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。

2、传递函数表达式中各项系数的值完全取决于系统的结构和参数，并与微分方程中各项系数相对应，所以传递函数也是系统的动态数学模型。

3、传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，即单输入、单输出的关系。

4、传递函数是在零初始条件下建立的，因此它只是系统的零状态模型，而不能完全反映零输入响应的动态特性。

此即传递函数作为系统动态数学模型的局限性。

5、因为实际的物理系统总含有惯性元件，并受到能源功率的限制，所以，实际系统传递函数中分母多项式的阶数n 总是大于或等于分子多项式的阶数m ，即m n ≥；通常将分母多项式的阶数为n 的系统称为n 阶系统。

三、传递函数的求法1、根据系统的微分方程求传递函数（1）确定系统或元件的输入变量和输出变量； （2）根据物理定律，列写出微分方程或微分方程组；（3）在零初始条件下求各微分方程的拉氏变换式（象函数），将它们转换为s 域的代数方程组；（4）消去中间变量后，根据定义求出传递函数。

例：求下图所示RLC 网络的传递函数。

解：根据基尔霍夫电压定律，可以列出⎪⎩⎪⎨⎧=++=dt d Ci dt di L iR u u u cc i在零初始条件下将以上两式进行拉氏变换后得⎩⎨⎧=++=)2()()()1()()()()( s Cs s I s s LsI s RI s U U U c c i 消去中间变量)(s I 则得)()1()(2s RCs LC s U s U c i ++=根据传递函数的定义可得11)()()(2++==RCs LC s s s G s U U i c 2、用复阻抗的概念求电路的传递函数由电路理论可知，电阻R 的复阻抗仍为R ，电容C 的复阻抗为sC1（容抗）；电感L 的复阻抗为sL （感抗）。

阻抗的串联、并联计算方法完全可以用于复阻抗网络等效复阻抗的计算。

[思考]分压公式例：求下图所示无源电路的传递函数)()(s U s U i c 。

解：利用分压公式，可直接写出RLC 串联电路的输出电压与输入电压之间的关系。

)(11)(s sCR Ls sCs U U i c ++=)(112s RCs LC U s i ++= 则传递函数为11)()()(2++==RCs LC s s s G s U U i c例：设无源网络如图所示。

已知初始条件为零，试求网络传递函数)()(12s s U U ，并说明该网络是否等效于RC 和RL 两个网络的串联。

2解：利用基尔霍夫电压定律、电流定律及欧姆定律得)1()()()(3111 s s s U R I U +=)2()(1)(23 s cS s I U = )3()()(233 R U I Ls s s +=)4()()(232 R I U s s =)5()()()(321 s s s I I I +=消去中间变量可得)()(222121211s R R R LS CS R R LCS R s U U ++++=则网络的传递函数为2121212)(R R LS CS R R LCS R R s G ++++=如果将网络分割开来，则RC 网络的传递函数为1111)()(1113+=+=Cs sCsCs s R R U U RL 网络的传递函数sLs s R R U U +=2232)()( 再将RC 与RL 两个网络串联起来，则整个网络的传递函数将成为：R R R s R R R R R U U U U U U s L C CL Cs Ls s s s s s s 221212122133212)(11)()()()()()(+++=+•+=•= 2121212R R LS CS R R LCS R R ++++≠结果与原网络的传递函数不同，其原因是确定RC 网络传递函数时，没有考虑到RL 网络的负载效应。