第二节
微分方程的建立
课后练习一
一、微分方程的建立
1、无源电网络模型实例 2、机械位移实例 3、机械旋转实例 4、直流电动机系统实例
二、非线性模型的线性化
1、线性模型的特征—齐次性和叠加性 2、非线性模型线性化问题的提出—理论研究和工程应用的需要 3、线性化的基本方法—静态工作点附近线性化（级数展开） 4、液位系统线性化模型求取应用实例

系统微分方程的求取
RC
d h (t ) h ( t ) R q 1( t ) dt
RC
d q2 ( t ) q 2 ( t ) q1( t ) dt
课后练习一

L
R2
习题1
建立图示电网络输入电压和输 出电压之间的微分方程。

ur u1 R1

C
uc
_
_
_
c (t ) ( R1R2C L)u c (t ) R1uc (t ) R1ur (t ) ( R1 R2 ) LCu
三、控制系统数学模型特征
1、微分方程的阶数等于整个系统中蓄能元件的个数； 2、同一个系统，选择不同输入或输出信号，微分方程的形式则不同； 3、数学模型存在的共性是系统性能仿真研究的理论依据。
无源电网络模型实例

解题步骤及求取过程

确定图示无源的网络的输入ur(t)和输出uc(t) ； 依据回路电压定律，设置中间变量回路电流i(t)，从输入到输出建立原 始微分方程组；
输出响应象函数为： C(s ) G(s ) R(s )

传递函数的特征及性质 传递函数的求取方法
传递函数的特征及性质
1、传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统的 固有特性，与输入信号类型及大小无关。 2、传递函数只适用于线性连续定常系统。 3、传递函数仅描述系统的输入/输出特性。不同的物理系统 可以有相同的传递函数。同一系统中，不同物理量之间对 应的传递函数也不相同。 4、初始条件为零时，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统 的传递函数。 5、实际系统中有n≥m，n称为系统的阶数； 6、传递函数是系统性能分析的最简形式之一。
FB ( t ) f
d y( t ) dt
Fk ( t ) k y ( t )
d2y (t ) d y (t ) m f k y (t ) F(t ) 2 d t dt
机械旋转实例

解题依据
运动学定律： 作用力矩=反作用力矩 ; ∑M = J a

求取过程
输入动力矩Mf；输出物体旋转角度θ 或角速度ω 。
1 d i (t ) L R i ( t ) dt C 1 i (t )d t uc ( t ) C t u (t ) i (t )d
r

R
L


u r (t )
_
i (t )
C
u c (t )
_

代入消元，获仅含输入输出变量的线性连续微分方程。
消除中间变量i(t)，化微分方程为规范结构形式

传递函数
问题的提出 传递函数的定义及表示形式
零初始条件下输出象函数与输入象函数的比值。 有理真分式多项式
(t ) a0c (t ) (t ) b0r(t ) (n m ) anc ( n)(t ) a1c bmr ( m ) (t ) b1r
C (s) bms m bm 1s m 1 b1s b 0 N (s) G(s) R (s) ans n an 1s n 1 a1s a 0 M (s)
qr

习题2
建立图示初箱输入流量和末 箱水位之间的微分方程。（两个 水箱的横截面积分别为C1和C2）
h1
R1 q0
h2
R2
qc
(t ) ( R C R C R C )h R1R2C1C2h 2 1 1 2 2 2 1 2 (t ) h2 (t ) R2qr (t )
第三节
J d2 θ (t) dθ Mf f dt d t2
d2θ dθ 角位移方程：J f Mf 2 d t dt
dω 角速度方程：J f ω M f dt
Mf
f

直流电动机系统实例

解题依据

Ra
La Ia Ma Ea
Ja ML
基尔霍夫定律； Ua 运动学定律； 直流发电机相关定律。
d 2 u c(t) duc(t) LC RC u c(t) u r(t) dt2 dt
机械位移实例

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解题依据
运动学定律： 作用力=反作用力 ; ∑F = m a。
F (t )
k

求取过程
输入外力F(t)；输出质量模块m的位移y(t)。
f
m
y (t )

d2 y ( t ) m F( t ) F B ( t ) F k (t ) 2 dt
第二章 控制系统的数学模型
（本章五次课）
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
基本概念 单元内容总结 微分方程的建立 传递函数 动态结构图（方框图） 动态结构图的等效变换求传递函数 信号流图和梅逊增益公式 控制系统的典型传递函数 典型环节的传递函数
第一节 基本概念
一、控制系统数学模型的定义 描述系统输入与输出动态关系的数学表达式。 二、建立控制系统数学模型的意义 数学模型是进行控制系统性能分析的前提条件。 三、建立控制系统数学模型的方法 1、理论建模* 2、试验建模 3、系统辨识 四、控制系统数学模型的几种形式 1、微分方程 2、传递函数* 3、频率特性*
Uf
if

求取过程

电网络平衡方程 电动势平衡方程 机械平衡方程 转矩平衡方程
d Ia R aIa E a Ua dt Ea K e ω dω Ja Ma ML dt Ma K CIa La
JaLa d2ω JaR a d ω K eω Ua K C d t2 KC d t
（空载Ml=0）
液位系统线性化模型求取应用实例

求取过程

确定系统的输入和输出 建立原始方程组
d h (t ) q1( t ) q 2 ( t ) ; dt
q1 (t )
C

q2(t)α
h(t) ; h(t )
q2 (t )
非线性模型线性化
q 2 ( t ) α h ( t ) d q2 ( t ) [h ( t ) h0 ( t ) ] q2 0( t ) dt 1 1 q2 ( t ) q2 0( t ) [ h (t ) h0 ( t ) ] q 2 ( t ) h (t ) R R q2 ( t ) q2 0( t )