1，利用均值不等式证明不等式（1）均值不等式：设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记12111n nn H a a a =++⋅⋅⋅+n G =12nn a a a A n ++⋅⋅⋅=n Q =它们分别称为n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。
有如下关系：n n n n H G A Q ≤≤≤.等号成立的充要条件是12n a a a ==⋅⋅⋅=。
先证n A n =当n=k+1n a ≤≤1111=i k i k a A +==+ +∑∑111111(1)(11).1ki i i i k i i i i k k k a a a a k k a A a k k k k ====++⎛⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-+-==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 11111.1k k k k k k kk kA G a n k A G +++++∴≥==+所以对时亦成立。
原不等式成立。
.n n A G ≥证法二：用反向数学归纳法证明：20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。
++k N ∈kk 1假设：n=2（）时成立，当n=2时：++++1+11++==.iii i ii aaa A G ===≥≥=∑∑∑k 1k k 1k k 1k 12222kk2k 1222222+,k N ∀∈k 即，对当n=2时，结论成立。
假设1t ttA G t ++证法三：0.k b =>令：111)k k k k k k b b b ----++≥11kkk k b b --即：k kb 且：11112211[(1)]nn nk nnk k k nk k k k k A b b b kb k b a G b --===-==≥--== 12n ===.n n G A a a a ∴≤等号成立当且仅当:上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是应该引起我们注意的。
例1：求证下列不等式：（1）()13a a b b+≥-，(0)a b >>（2）()()log 1log 11,2n n n n n -+<>（3）444222222x y y x y y z z x ++≥++()xyz x y z ≥++，其中,,0x y z >证明（1）()1a a b b +-()()1a b b a b b =-++-3≥=当且仅当()10a b b a b b -==>-，即2,1a b ==取等号。
<=z例2：若,,a b c R +∈且1a b c ++=证明：左边16343≤==例3：已知12,,n a a a ⋅⋅⋅是正数，满足121n a a a ⋅⋅⋅⋅= 求证：()()()122223nn a a a ++⋅⋅⋅+≥（89年联赛试题）证明：11211a a +=++≥22a +≥2n a +≥，将以上式子相乘即得证。
例4：n N ∈，求证：11111231n n n ++⋅⋅⋅+>+++ 证明：由2121n n A H ++≥有1111231n n n ++⋅⋅⋅++++ ()()()()()()22221211123121n n n n n n ++≥==++++⋅⋅⋅++显然上式不可能取等号，故原不等式成立。
例5111n m -⋅⋅⋅⋅⋅个1≤∵例61212n ∴()()()()()()121111112111n a a a n -++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅-+12n a a a =⋅⋅⋅于是11223n n a a a a a a -++⋅⋅⋅++11112n++⋅⋅⋅+ =11223n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+12111na a a +++⋅⋅⋅+112123111n na a a a a a a -++=+++⋅⋅⋅+n ≥≥而1112n n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭12123n n -⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭所以12123n n-++⋅⋅⋅+≤11223n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+=≥=证明 左边=(1)(1)(1)3()()()a b c b c a c a b +++++-+++ ()()()()()()3()()()a b a c b c b a c a c b a b c b c a c a b ++++++=++-+++3≥3=322233ab bc caabc⋅⋅≥-3233=⨯-=.注:本题多次利用了均值不等式本题也可以由2()a bc c caa b c a b ab bc+=++++∑∑∑,再处理.例9：已知,,,+∈R c b a 求证：.43)()()(3322322322≥+++++b a c a c b c b a分析：通过放缩，将异分母化为同分母，从而构造成出一些“零件不等式”，最后，将这些“零件不等式”相加，即可得出原不等式的证明。
证明：3)()(22))((22)(22)(333323322c b c b a ac b c b a ac b a ac b a ++++≥++⋅=+=+cb a a ++•=343 ① 同理可得cb a ba cb ++•≥+332243)( ② cb ac b a c ++•≥+332243)( ③将①、②、③三个零件不等式相加，得332232232243)()()(≥+++++b a c a c b c b a 注：本题的技巧在于将三个异分母的分式放缩成三个同分母的分式，构造出“零件不等式”①、②、③。
例10：如图△ABC 及其内接△DEF 分原三角形所得△AEF 、△BDF 、△CDE 中，至少有一个三角形的面积不大于原△ABC 面积的（这里所指△ABC 的内接三角形DEF ，是顶点D 、E 、F 分别在△ABC 三条边上的三角形）证明：如图，设△ABC 三边BC=a ，CA=b ，AB=c ，且AE=e ，AF=f ，BD=m ，BF=n ，DC=p ，EC=q ，逆用公式，并注意到,于是有， ，， 更注意到若S △CDE 、S △AEF 、S △BDF 皆大于S △ABC 的，（*）式不可能成立，故所给四个三角形面积中，至少有一个不大于类似例子很多，望同学们在做题实践中，更多予以总结，不断提高自己的分析，归纳解题能力。
例11：已知0,1,2,i m i n >=⋅⋅⋅，1p ≥，1111npi im ==+∑， 求证：()121n pn m m m n ⋅⋅⋅≥-证明：令11i pi x m =+，则1pi i i x m x -=，且11ni i x ==∑ ∴12111i i i n x x x x x x -+-=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()11111n i i n n x x x x --+≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴()()()121212111n pp p nnx x x m m mx x x --⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ()()1111121211nn n n n nnnn x x x n -----⋅⋅⋅≥=-∴()121npn m m m n ⋅⋅⋅≥-说明：本题采用变量代换的方式清晰地展现了已知条件与结论表达式中变量的关系。
例12; 设,,a b c R +∈，求证：n n n p q r q r p r p qa b c a b c a b c a b c ++≥++，其中,,,n N p q r ∈都 是非负整数，且p q r n ++=分析与解：欲证的不等式涉及到的量较多，为此先考察特殊情形：2,1,0p q r ===，即先证明()3332221a b c a b b c c a++≥++，该不等式关于,,a b c 轮换对称，不妨设a b c ≥≥，则左－右()()()322a a b b b c c c a =-+-+-()()()222a a b b b c c c b b a =-+-+-+-33333a a a ab a a b +=≤22,33b c c a c a ++≤以上三个式相加即得p q rnnnnnnp pa a b c a a b b c c =≤个q个r个q rpnnnnnnn qa a b c a a b b c c =≤q 个r个p个rp qnnnnnnra a b b c c ≤r 个p个q个以上三个式相加即得待证不等式。
例13:设锐角,,αβγ满足222cos cos cos 1αβγ++=，求证：tan tan tan αβγ≥分析与解：由已知222cos cos cos 1αβγ++=，立即联想到长方体得对角线公式： 2222a b c l ++=，令cos ,cos ,cos a b cl l lαβγ===，l = 以,,a b c 为棱构造长方体，则易知：tan aaα=≥，同理：tan b bβ=≥，tan γ=≥ 22tan tan tan 2bccaababcαβγ∴≥= 上面是从条件中隐含的数形关系中探索思考解题的途径，那么，从结论不等式中观察到什么呢？由3tan tan tan αβγ≥=，即是三个不等式相乘的结果，就可以再变化为：3sin sin sin cos cos cos αβγαβγ≥，这样也无需构造长方体模型，而采用下面的证法：由222cos cos cos 1αβγ++=，知α 例14： 证明 令（1）t ≤∴()g t ≥（2）t >()g t ∴≥≥2222t t≥ 6.= 点评 注意到(1)6f -=，故先作代换1t x =+，使()f x 的表达形式更简单，放缩较为大胆，但要注意0t =时能取到符号，放缩不能过头，最后回到平均值不等式。
例15：设,,,a b c d 为正实数，且满足ab bc cd da +++=1求证：3333a b c d b c d a c d b a d b c a +++≥++++++++13证明：由均值不等式得：311812a b c d b c d ++++≥++2a=从而3121812a a b c d b c d ++≥--++ 同理3121812b b a c d a c d ++≥--++ 3121812c c a b d a b d ++≥--++所以,例abc c b a c c b b a a )(2111333222222++≥-+-+-⇔ +-+++-++⇔2222222222)()(b b c b a a a c b aabc c b a c c c b a )(2)(33322222++≥-++ 222222222c b a b c a a c b +++++⇔abc c b a )(2333++≥ ①++++⇔)()(22222222c a c a c b c b ).(2)(3332222c b a abc b a b a ++≥+由均值不等式得c ab a b c b a b c b 42424242422=⋅≥+， 44242424222abc c a c b c a c b =⋅≥+，c a 24(22c b 例:17： 次化。