第八章
静电场部分习题分析与解答
en 为沿平面外法线的单位矢量;
圆盘激发的电场为:
E1 en 2 0
由教材中第8-4节例4可知，在带电平面附近
r
x
x
x E2 (1 )en 2 2 2 0 x r x 它们的合电场强度为: E E1 E2 en 2 0 x 2 r 2 在圆孔中心处x=0,则: E 0 1 en en 距离圆孔较远处x>>r则: E 2 0 1 r 2 / x 2 2 0
故,点P的电场强度大小为:
E方向沿y轴的正方向
L/2
因为 sin r / r ,
r r 2 x 2 统一积分变量,则
rQdx 1 E 2 2 3/ 2 L / 2 4 ( x r ) 2 0 r 0
当棒长
Q L2 4r 2
E lim L 2 r 1 4r 2 / L2 2 0 r 0
d

o
R
x
将半球壳分割为一组平行的细圆环,任一个圆环 所带电荷元为: dq ds 2R 2 sin d 在点O激发的电场强度为:
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dE
xdq i 2 2 3/ 2 4 0 ( x r ) 1
由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同,利 用几何关系 x R cos , r R sin 统一积分变量,有
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8-5 若电荷均匀地分布在长为L的细棒上,求证: (1)在棒的延长线,且离棒中心为r处的电场强度为
E Q 0 4r 2 L2
1 2 0 r Q 4r 2 L2
1
(2)在棒的垂直平分线上,离棒为r的电场强度为
E
L (1)在带电棒上取一线元dx,其 电荷为 dq=Qdx/L,它在P点 的电场强度大小为:
求点P的电场强度可采用两种方法处理.将无限大 平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细 长线元组成,它们的电荷分别为:
dq 2rdr或d dy
求出它们在轴线上一点P的电场强度dE后,再叠 加积分,即可求得点P的电场强度了.
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y
如图所示,在带电板上取 同心细圆环为微元,由于 带电平面上同心圆环在点 P激发的电场强度dE的方 向均相同,因而P处的电场 强度为
dr
r
z
P
x
dE
o
E dE
xdq i 2 2 3/ 2 4 0 (r x ) 2xrdr i i 2 2 3/ 2 0 4 ( r x ) 2 0 0 1
电场强度E的方向为带电平板外法线方向.
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y
考虑到面CDEO与面ABGF的外法 线方向相反，且该两面的电场分布 相同，故有：
A F
O
B
G
CDEO ABGF E2 a 2
同理有：
E
C
x
D
2 AOEF E dS [ E1i E2 j ] (dsi ) Ea BCDG E dS [( E1 ka)i E2 j ] (dsi )
1 Q/L
L
时,P点的电场强度为
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同
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8-7 一半径为R的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密度 为σ,求球心处电场强度的大小. 将半球壳分割为一组平行的细 圆环,从教材第8-3节的例1可以 看出,所有细圆环在轴线上O处 的电场强度方向都相同,将所有 的带电圆环的电场强度积分,即 可求得球心O处的电场强度.
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8-17如图所示，在电荷体密度为ρ的均匀带电球体中， 存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向空腔球心 Oˊ的矢量用 a 表示，试证明球形空腔中任一点的电 场强度为：
E
3 0
a
用补偿法求解
o o a
挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整 的、电荷体密度为ρ的均匀带电球状和一个电荷体密 度为- ρ、球心在Oˊ的带小球体（半径等于空腔球 体的半径）。大小球体在空腔内P点产生的电场强度 分别为 ，则P点的电场强度 E1 、 E 2 E E1 E2
dx
O
P
dE
x
x
r
dq dE 2 4 0 (r x)
1
方向沿X轴正方向
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因带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同,则:
Qdx Q 1 1 E [ ] 2 L / 2 4 L( r x) 4 0 L r L / 2 r L / 2 0 1 Q 电场强度的方向沿x轴正方向 2 2 0 4r L
Q1 (r 3 R13 ) E2 3 4 0 ( R2 R13 )r 2
xdq dE 2 2 3/ 2 4 0 ( x r ) R cos 2 2R sin d sin cosd 3 4 0 R 2 0 1
积分得:
1
E
/2
0
sin cosd 2 0 4 0
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8-8用电场强度叠加原理求证:无限大均匀带电板 外一点的电场强度大小为 E / 2 0 (提示:把无限 大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线,然 后进行积分叠加)
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均匀带电球体内部一点的电场强 度，由高斯定理可得：
r1 ; E2 r2 所以： E1 3 0 3 0 E E1 E2 (r1 r2 ) 3 0 a 利用几何关系 r1 r2 a ，上式可改写为 E 3 0
z
k a3 整个立方体表面的电场强度通量为：
( E1 ka)a 2
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8-15设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电 荷体密度为： kr 0r R
0
rR
K为一常量，试高斯定理求电场强度E与r的函数关 系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗？） 取与带电球体同心的球面为高斯 面，因电荷分布和电场分布为球 对称 ，球面上各点电场强度的大 小为常量，且方向垂直于球面。 由高斯定理：
y
如图所示,取无限长带电细 线为微元,各微元在点P激 发的电场强度dE在oxy平 面内且对x轴对称,因此,电 场在y轴和z轴方向上的分 z 量之和,即Ey、Ex均为零， 则点P的电场强度应为：
dy
y o

P dEx
dEy dE
x
xdy E E x i dE cosi i 2 2 2 0 x y 积分得 E i 2 0
o o 1 4r 3 E 4r 2 , o 3
E ds
q
1

r
o
4r dr
2
o a
r1
r2 o
E r 3 0
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8-19一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆 柱体单位长度的电荷为λ，用高斯定理求圆柱体内距轴 线距离为r处的电场强度。 R 因电荷具有轴对称分布，电场 强度也为轴对称分布，且沿径 矢方向。取同轴圆柱面为高斯 面，由高斯定理得：
r
L
E ds E 2rL
因为
q
0
解得
/ R 所以 r E 2 2 0 R
2
q r
2
L
r L
2
R
2
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8-20一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总 电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球 面，球面带电荷为Q2，求电场分布。电场强度是否是 场点与球心的距离r的连续函数？试分析。
电场强度E的方向为带电平板外法线方向.
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8-11如图8-11所示,电荷 Q 分别均匀分布在两个半径 为R的半细圆环上，求：（1）带电圆环偶极矩的大 小和方向；（2）等效正、负电荷中心的位置。 y （1）将圆环沿y轴方向分割为一组 相互平行的元电偶极子，每一元电 L Q Q 偶极子带电 dq ds d R
ds R x o

2Q dP 2 R cos dqj R cosdj

/2 4Q 则带电圆环的电偶极矩为： P dP Rj
/ 2

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（2）等效正负电荷中心间距为
A B
G
由题意知E与oxy面平行，所 以对任何与oxy面平行的立方 体表面，电场强度通量为零， 即 OABC DEFG 0 ，而
F
O
C
x
D
E
ABGF
z E dS [( E1 k x)i E2 j ] (dsj ) E2 a 2
o
r r
R
0 当 0 r R 时： 1 r k 4 2 2 E 4r kr4r dr r
kr E er 4 0
当
1 E dS dV
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o