Re[s] 包a括了 （即 轴 0 ）。 j
❖比较 X (s)和 X ( j)显然
有
X (s) s j X ( j )
❖当a 时0 ， x(t) eatu(t) u(t)
可知 u(t) 1 s
Re[s] 0
例2. x(t) eatu(t)
X (s) 0 eatestdt 0 e(sa)tdt 1 , Re[s] a
X (s) etest dt e2test dt
0
0
etu(t) 1 , Re[s] 1
j
s 1
1
e2tu(t) 1 ,
Re[s] 2
j
s2
2
s 1 s 2 s 3s 2
X (s)
1
1
2
2s 3
, Re[s] 1
可见:拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。
ROC总是以平行于 轴j的直线作为边界的，ROC
拉氏变换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶分析法的 推广，傅里叶分析是它们的特例。
§9.1 拉普拉斯变换(LAPLACE TRANSFORM)
e 复指数信号 是s一t 切LTI系统的特征函数。
如果LTI系统的单位冲激响应为 h(t，) 则系统对
es产t 生的响应是
y(t) H (s)est ，其中 H (s) h(t)estdt
由于
X (s) x(t)ete jtdt [x(t)et ]e jtdt
[x(t)et ]
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， x(的t)
拉氏变换就是x(t)e的傅t 里叶变换。只要有合适
的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条
件的信号在引入 e后t满足该条件。即有些信号
的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。
3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式， 只是它们的收敛域不同。 4. 只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和 信号建立一一对应的关系。
5. 如果拉氏变换的ROC包含 j轴，则有。
X ( j) X (s) s j
二. 拉氏变换的ROC及零极点图： 例3.
x(t) etu(t) e2tu(t)
当 s 时j，就是傅里叶变换(系统的频率响应)。
一. 定义：
X (s) x(t)estdt
称为 x(t的) 双边拉氏变换 。其中 s j
若 ，0 s 则j
X ( j) x(t)e jtdt 就是 x(的t) 傅里叶变换。
表明：连续时间傅里叶变换是拉氏变换在 0
或是在 j轴上的特例。
轴的直线的右边。（说明如下）
若 x(是t)右边信号, 在R0OC内，
则有 x(t)e绝对0t 可积，即：
x(t)e0t dt T
若1 ，则0
x(t )e1t dt T
x(t)e0te(10 )t dt T
e(10 )T x(t)e0t dt T
1（任取的一个在右0 边的值） 也在收敛域内
拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
例1. x(t) eatu(t)
X (s) eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
Re[s] a 时收敛
❖当a 0时， x的(t傅) 里叶变换存在
X ( j) eate jtdt 1
0
a j
(a 0)
显然，在 a 时0 ，使拉氏变换收敛的区域
M。因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。
§9.2 拉氏变换的收敛域 ROC of LAPLACE TRANSFORM
▪ 可以归纳出ROC的以下性质：
1. ROC是 S 平面上平行于 j 轴的带状区域。
2. 在ROC内无任何极点。 3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。
4. 右边信号的ROC是 S 平面内某一条平行于 j
面内平行于 轴j的 带形区域。
例1. x(t) eat 0
0<t<T
其它 t
X (s) T eatest dt 0
T e(sa)t dt 1 [1 eS平面。
X (s) 似乎有极点 s a
傅里叶变换是以复指数函数中的一个特例，即
e jt 和 e j为n 基底分解信号的。对于更一般的复指数函数 和 es，t 也理zn应能够以此为基底对信号进行分解。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下 一章要讨论的中心问题。
通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Ｚ变换不 仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能 适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统 分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用的 许多方面。
5. 左边信号的ROC是S平面内的一条平行于 j
轴的直线的左边。
若 是x(t左) 边信号, 定义于
内， 则1 0
,(在,TROC 0
T x(t)e1t dt T x(t)e0te(10 )t dt
e(10 )T T x(t)e0t dt
1 也在收敛域内。
6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平
第九章 拉普拉斯变换
THE LAPLACE TRANSFORM
基本内容： 1.拉斯变换的定义； 2.收敛域的概念； 3.零极点图； 4.拉普拉斯变换的性质； 5.系统函数； 6.单边拉普拉斯变换；
1
§9.0 引言 Introduction
傅里叶分析方法在信号与LTI系统分析中非常有 用，其原因很大程度上是因为相当广泛的信号都可 以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是 一切 LTI 系统的特征函数。
sa
由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非 任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任 何复数都能使拉氏变换收敛。 2. 拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称为拉 氏变换的收敛域 ROC（Region of Convergence），拉氏变换的 ROC 是非常重要的 概念。
的边界总是与 的X分(s)母的根对应的。
若 X (s是) 有理函数
X (s) N (s) M
(s i)
i
D(s) (s i )
i
分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称
为极点。
将 X的(s全) 部零点和极点表示在 S 平面上，
就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表
示一个 X (s，) 最多与真实的 相X (差s)一个因子