立体几何证明平行的方法及专题训练罗虎胜立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。
（2） 利用三角形中位线的性质。
（3） 利用平行四边形的性质。
（4） 利用对应线段成比例。
（5） 利用面面平行的性质，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB（第1题图）M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证：（Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM.分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：法一：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 法二：证平面EGF ∥平面ABC ，从而AM ∥平面EFG6、如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。
ABCDEF G MA ACC;证明：MN∥平面//分析：连结AC1，，则MN是则△A1BC1的中位线，7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中， D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是△B1AC的中位线8、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.证明: BC1//平面A1CD;分析：此题与上面的是一样的，连结AC1与A1C交F,连结DF，则DF//BC19、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.分析：连结AC交BD于O点，连结OM，易证OM∥PA从而PA∥平面DBM,再根据直线与平面平行的性质得AP∥GH.（.3）利用平行四边形的性质10．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，求证：D1O//平面A1BC1;分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1是平行四边形PEDCBA 11、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形12、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．（I ）证法一：因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=︒， 所以90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆ 由于AB=2EF ，因此，BC=2FC ， 连接AF ，由于FG//BC ，BC FG 21=在ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM//BC ，且BC AM 21=因此FG//AM 且FG=AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM//FA 。
又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM//平面ABFE 。
(4)利用对应线段成比例13、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别 是SA 、BD 上的点，（1）SM AM =ND BN， 求证：MN ∥平面SDC （2）AM DNSM BN=, 求证：MN ∥平面SBC 分析：法一：过M 作ME//AD ，过N 作NF//AD利用相似比易证MNFE 是平行四边形法二：连接AN 并且延长交CD 或CD 的延长线于E 点，连结SE ，则易证MN ∥SE,于是MN ∥平面SDC ，同理连接AN 并且延长交BC 或BC 的延长线于F ，连结SF ，则易证MN ∥SF,于是MN ∥平面SBC14、如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN 求证：MN ∥平面BEC分析：过M 作MG//AB ，过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形（6） 利用面面平行15、如图，三棱锥ABC P -中， E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. 求证：//CM 平面BEF ；分析: 取AF 的中点N ，连CN 、MN ，易证平面CMN//平面EFB16、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =,14AA =，点D 是AB 的中点，（1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：11CDB //平面AC ； （3）求三棱锥11C CDB -的体积。
分析:取A 1B 1的中点E ，连结C 1E 和AE ，易证 C 1E ∥CD,AE ∥DB 1，则平面AC 1E ∥DB 1C,于是11CDB //平面AC17在长方体1111ABCD A B C D -中, 11,2AB BC AA ===,AFEBC DMNP NMB 1C 1D 1A 1DCBANB 1C 1D 1A 1点M 是BC 的中点,点N 是1AA 的中点. (1) 求证: //MN 平面1A CD ;(2) 过,,N C D 三点的平面把长方体1111ABCD A B C D -截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.（1）证法1：设点P 为AD 的中点，连接,MP NP .∵ 点M 是BC 的中点, ∴ //MP CD .∵ CD ⊂平面1A CD ,MP ⊄平面1A CD , ∴ //MP 平面1A CD . …2分 ∵ 点N 是1AA 的中点, ∴ 1//NP A D .∵ 1A D ⊂平面1A CD ,NP ⊄平面1A CD , ∴//NP 平面1A CD . …4分∵ MPNP P =,MP ⊂平面MNP ,NP ⊂平面MNP ,∴ 平面//MNP 平面1A CD . ∵ MN ⊂平面MNP , ∴//MN 平面1A CD . …6分证法2: 连接AM 并延长AM 与DC 的延长线交于点P , 连接1A P , ∵ 点M 是BC 的中点, ∴ BM MC =.∵ BMA CMP ∠=∠, 90MBA MCP ︒∠=∠=, ∴ Rt MBA ≅Rt MCP . …2分QN MB 1C 1D 1A 1DCB A∴ AM MP =. ∵ 点N 是1AA 的中点,∴ 1MN //A P . …4分∵ 1A P ⊂平面1A CD ,MN ⊄平面1A CD ,∴ //MN 平面1A CD . …6分(2) 解: 取1BB 的中点Q , 连接NQ ,CQ , ∵ 点N 是1AA 的中点, ∴ //NQ AB . ∵ //AB CD , ∴ //NQ CD .∴ 过,,N C D 三点的平面NQCD 把长方体1111ABCD A B C D -截成两部分几何体, 其中一部分几何体为直三棱柱QBC -NAD , 另一部分几何体为直四棱柱1111B QCC A NDD -. …8分∴ 11111222QBC S QB BC ∆==⨯⨯=, ∴直三棱柱QBC -NAD的体积112QBC V S AB ∆==, …10分 ∵ 长方体1111ABCD A B C D -的体积112V =⨯⨯2=, ∴直四棱柱1111B QCC A NDD -体积2132V V V =-=. …12分∴ 12V V =1232=13.∴所截成的两部分几何体的体积的比值为13. …14分。