解 (1) 2已知,的置信水平为1- 的置信区间为
X

n
z
/
2

n=9, 1-=0.95, =0.05, (z0.025)=1-0.025=0.975, z0.025=1.96,
=0.6 ,x=6, (6 0.6 1.96) (6 0.392) 3
ln
L

n 2
ln

(
令
d
d
ln L
n
2

1
2
n
ln xi
i 1
0
n
1) ln xi
i 1
得到的最大似然估计值
的最大似然估计量


n2
n
(ln xi )2
i 1


n2
n
( ln Xi )2
i 1
4.(2) 设X1,X2,…,Xn是来自参数为的泊松分布总体的一个样本,试
的一个置信水平为0.95 的置信区间为(5.608, 6.392).
(2) 2未知,的置信水平为1- 的置信区间为 X
S n
t
/
2
(n

1)

n=9, 1-=0.95, =0.05, t /2(n-1)=t 0.025(8)= 2.3060
s=0.5745, 6 0.5745 2.3060 6 0.442
解 两正态总体均值未知,方差比A2/B2的一个置信水平为1- 的
置信区间为
(
S
2 A
SB2
1 F / 2(n1 1, n2

1)
,
S
2 A
SB2
1 F1 / 2(n1 1, n2
) 1)
nA=10,nB=10,1-=0.95, =0.05, F /2(nA-1,nB-1)=F0.025(9,9)= 4.03

x
的最大似然估计量Leabharlann 1 n
n
Xi
i 1

X
8 (1)验证第六章§2定理四中的统计量
Sw2

n1 1 n1 n2
2
S12

n2 1 n1 n2
2
S22

(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
是两总体公共方差2的无偏估计量(SW2称为2的合并估计). 证 两正态总体N(1, 12 ) ,N(2, 22 )中, 12=22=2
解 由p168(2.19)得 E(X1)=E(X2)=, D(X1)=2/n1, D(X2)=2/n2 .
故 E(Y)=aE(X1)+bE(X2)=(a+b)=, (a+b=1)
所以,对于任意常数,a,b(a+b=1), Y=aX1+bX2都是的无偏估计.
由于两样本独立,故两样本均值X1和X2独立,所以
(2)在上述的无偏估计量中指出哪一个较为有效.
解 Xi ( i =1,2,3,4) 服从均值为的指数分布,故 E(Xi)=, D(Xi)=2 ,
(1)
E(T1
)

1[E( 6
X1)

E(
X2
)]

1[E( 3
X3
)

E(
X4
)]

2
(1 6

1) 3


E(T2 )

1 5
[
E(
X1
)

2E(X2)
i 1
i 1
i 1
i 1
i1 i1
10.设X1,X2,X3,X4是来自均值为的指数分布总体的样本,其中未知.
设有估计量
T1

1 6
(
X1

X2
)

1 3
(
X3

X4
)
T2=(X1+2X2+3X3+4X4)/5,
T3=(X1+X2+X3+X4)/4 . (1)指出T1,T2,T3中哪几个是的无偏估计量;
2 / 2(n 1) 12 / 2(n 1)
n=9, 1-=0.95, =0.05, 2 /2 (n-1)=2 0.025(8)= 17.535
2 1-/2 (n-1)=2 0.975(8)= 2.18, 又s=11,
8 11 7.4, 17.535
8 11 21.1, 2.18
F1
/ 2(nA

1, nB

1)

F0.975 (9,9)

1 F0.025 (9,9)

1 4.03
sA2=0.5419,sB2=0.6065,
0.5419 1 0.222, 0.6065 4.03

0.004)
1 -2的一个置信水平为0.95 的置信区间为(-0.002, 0.006).
20. 设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法 各作10次测定,其测定值的样本方差依次为sA2=0.5419, sB2=0.6065, 设 A2, B2分别为A,B所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态的, 设两样本独立,求方差比A2/B2的置信水平为0.95的置信区间.
解 两正态总体相互独立, 方差相等,但方差未知, 其均值差1 -2的 一个置信水平为1- 的置信区间为
( x1 x2 t / 2(n1 n2 2)sw
1 n1

1 n2
)
Sw2

(n1

1)S12 n1
(n2 n2 2
1)S22
,
Sw

Sw2 .
n1=4,n2=5,1-=0.95, =0.05, t/2(n1+n2-2)=t0.025(7)= 2.3646
3E(X3)
4E( X4 )]
1 (1 5
2
3
4)

2
E(T3 )

1 4
[
E(
X1
)

E(X2)

E(X3)
E( X4 )]
1 (1 4
1
1 1)


因此T1,T3是的无偏估计量.
(2) X1,X2,X3,X4相互独立
D(T1 )

1 36[D( X1)

而不管总体X服从什么分布,都有E(S2)=D(X), 因此E(S12)= E(S22)= 2, E(Sw2n)1En12((n12[(1nn)11S121n)E2(n(2S212 )1)S(2n22) 1)E(S22 )] 2
(2)设总体X的数学期望为. X1,X2,…,Xn是来自X的样本. a1,a2,…,an
x
X c
xc
2.(2)
f (x)

x 0,
1,0 x 1 其它
其中>0,为未知参数.
解 因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩1即可.
1 E( X ) xf ( x)dx.
01 x dx

x
1
1 1 0

1
第七章习题
2. 设X1,X2,…,Xn为总体的一个样本, x1,x2,…,xn为一相应的样本值;求 下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值.
c x( 1) , x c
(1) f ( x) 0,
其它
其中c>0为已知,>1,为未知参数.
解 因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩1即可.
3
的一个置信水平为0.95 的置信区间为(5.558, 6.442).
16.随机地取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准差s=11(m/s). 设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信 水平为0.95 的置信区间.
解 未知,的置信水平为1-的置信区间为 ( n 1S , n 1S )
1 E(X )

xf ( x)dx


x c x( 1)dx
c
c
x dx c x 1
c
1
c

c 1
解出 1 1 c
将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,

得到参数的矩估计量
X

矩估计值
标准差的置信水平为0.95 的置信区间为(7.4, 21.1).
18. 随机地从A批导线中抽取4根,又从B批导线中抽取5根,测得电
阻(欧)为
A批导线:0.143 0.142 0.143 0.137
B批导线:0.140 0.142 0.136 0.138 0.140
设测定数据分别来自分布N(1,2),N(2,2),且两样本相互独立.又1, 2,2均为未知.试求1 -2的置信水平为0.95 的置信区间.
求的最大似然估计量及矩估计量.
解 泊松分布的分布律为 P{ X
x}

xe
,
x 0,1,2, ,
x!
总体一阶矩1=E(X)=, 将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,
得到参数的矩估计量 X
设x1,x2,…,xn为相应的样本值,
似然函数 L( x1, x2 , , xn , )
n xi

e
i1 xi !

e n
n
xi i 1
n
( xi!)
n
n
i 1
取对数得 ln L n ln xi ln( xi!)