3.4 平稳性
对于一阶差分方程，保持其平稳性的条件 是特征方程 (1 - aL) = 0
根的绝对值必须大于1，满足 |1/a| 1
也就是 | a | < 1
3.4 平稳性
因为，在 | a| < 1条件下，有
x t ( 1 a a L 2 L 2 a 3 L 3 ) u t
若保证AR(1)具有平稳性， a i Li i 0 必须收敛，即 a必须满足|a|< 1。
白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差 不变，随机变量之间非相关。显然上述白噪声是 二阶宽平稳随机过程。如果{x(t)}同时还服从正 态分布，则它就是一个强平稳的随机过程。
白噪声源于物理学与电学，原指音频和电信号在 一定频带中的一种强度不变的干扰声。
2.5白噪声
3
2
1
0
-1
-2 white noise
5.1.1 AR(1)自相关函数
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 - 0 .2 - 0 .4 - 0 .6 - 0 .8
2
4
6
8
10
12
14
a AR(1) 过程的自相关函数（ 为正）
5.1.1 AR(1)自相关函数
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
2
4
6
8
10
12
自协方差序列 k，k 0，1，2，被称为随
机过程xt的自协方差函数。
当k 0时，有 0 var(xt ) 2
k
k
/
称为自相关系数。
0
注意：自相关函数的对称性。
5.1.1 AR(1)自相关函数
对于 AR (1)过程： xt ax t1 u t , a 1 x t x t k ax t 1 x t k x t k u t
-3 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
3.5 多阶自回归过程
一阶自回归过程表明当前的随机变量x(t) 由前一时期的随机现象x(t-1)和当前随机 干扰u(t)造成，如果当前的随机现象是由 前p个时期的随机现象和当前的随机干扰 u(t)造成，就得到多阶自回归过程AR(p)
3.5 多阶自回归过程
定义（AR(p)过程）对于p阶差分方程
x t a 1 x t 1 a 2 x t 2 a p x t p u t
如果 ut ~WN (0,2)，其特征方程
( z ) 1 a 1 z a 2 z 2 a p z p 0
的所有根都在单位圆之外（或绝对值大于1）； 则称该p阶差分方程为一个p阶自回归过程。
3.5 多阶自回归过程
下面考虑AR(2)过程
xt a 1xt 1a2xt 2ut
的平稳性条件。a2 a1 1且a源自 a1 112 a2 a2 1
推论： 保证AR(p) 过程平稳的一个必要但 不 充分的条件是 p个自回 归自回归系数之 于1
2.4差分算子与滞后算子
差分：时间序列变量的本期值与其滞后值相减的 运算叫差分。
一阶差分可表示为：
xt -xt-1=xt= (1-L)xt=xt-Lxt 其中 称为一阶差分算子。L 称为滞后算子，其
第五讲自相关函数和偏自相关函 数
第5讲 自相关函数和偏自相关函数
首都经济贸易大学统计学院 张玉春 Capital University of Economics and Business
基本内容
自相关函数 偏自相关函数
5.1自相关函数
k cov(xt , xtk ) E(xt u)(xtk u)
如果|a| 1， a i Li 发散， i 0
则一阶差分方程变成一个非平稳随机过程。
3.4 平稳性
对于平A稳R(1)方程(a 1)：
均值E( aiLi)ut E(ut ) ai 0
i0
i0
方差0 E(xt )2 E(xt2)
E(ut aut1 a2ut2 )2
(1a2 a4 )2
2 /(1a2)
14
a AR(1) 过程的自相关函数（ 为负）
5.1.2 AR(p)自相关函数
xt axt1 ut (1aL)xt ut 现在考虑对上式乘两以边下同算子： (1aLa2L2 a3L3 atLt ) (1at1Lt1)xt (1aLa2L2 a3L3 atLt )ut xt at1x1 atu0 at1u1 ut
a1
1 2 a1
a12 4a2 a1 2
a12 4a2 2
a2
3.5 多阶自回归过程
a2 a1 12 (1 2 ) 1 (1 1 )(1 2 ) a2 a1 12 (1 2 ) 1 (1 1 )(1 2 ) 1 1, 2 1 (1 1 )(1 2 ) 0
其特征方程式是 (z) 1 a 1z a 2z20 上式的两个根：
z1,z2
a1
a12 4a2 2a2
3.5 多阶自回归过程
平稳性条件是： z1 1, z2 1
练习：判断下列过程的平稳性
(1) xt 0.7xt1 0.1xt2 ut (2) xt 0.6xt1 0.1xt2 ut (3) xt 0.7xt1 0.6xt2 ut
定义是Lnxt=xt-n
2.5白噪声和随机游走过程
白噪声（white noise）过程：对于随机过程{ x (t)， tT }，如果E( x (t)) = 0，Var ( x (t)) =2 ，tT； Cov (x (t), x (t + k)) = 0，(t + k ) T，k 0，则称 {x (t)}为白噪声过程。
k a k 1 k a k 0 a k
对于平稳过程有 a 1，所以
5.1.1 AR(1)自相关函数
当a为正时，自相关函数按指数衰减至零； 当a为负时，自相关函数正负交错地指数 衰减至零。对于经济时间序列，第一种情 形较为常见。指数衰减至零的表现方式说 明随着时间间隔的加长，变量之间的关系 越来越弱。
3.5 多阶自回归过程
平稳性的充分条件是：
a 2 a1 1 a 2 a1 1 1 a2 1
3.5 多阶自回归过程
令1 1/ a1, 2 1/ a2
则1 , 2
a1
2a2 a12
4a2
a1
a12 4a2 2
1 2 a1
a12 4a2 a1 2
a12 4a2 2