由分类计数原理，共有偶数 30 个.
练习 1 有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，甲不在中间 也不在两端有多少种不同的排法？
解 (1)方法一 (元素分析法) 先排甲有 6 种，其余有 A88种， 故共有 6·A88＝241 920(种)排法． 方法二 (位置分析法) 中间和两端有 A38种排法，包括甲在内的其余 6 人有 A66种排法， 故共有 A83·A66＝336×720＝241 920(种)排法．
练习7.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2， 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内, 要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编 号与盒子的编号相同, 有多少投法？ 20
解：从5个球中取出2个与盒子对号有__C__52 _种
还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒考向3 Nhomakorabea涂色问题
【例1】如图，用5种不同的颜色给图中A、 B、C、D四个区域涂色，规定每个区 域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 求有多少种不同的涂色方法？ 180 解法一（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件
事需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4 种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还 可以使用涂A的颜色)，根据分步计数原理共有 5×4×3×3＝180种涂色方法．
素的一个组合。
区别
与顺序有关
与顺序无关
判定 公式
看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
n! (nm)!
m n(n1)(n2) (nm1)
C n n!
m!
nm!m!
考向一 分类加法计数原理 【例1】►(2011·全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3 本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠 送方法共有( )． A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 [审题视点] 由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原 理．
乙、丙插入，则有 A35 种方法，这样共有 A44 A53 种不
同的排法。
练习4.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
元素相离问相题可先独把没有独 位置独要求相的元素进 行排队再把不相邻元素插入中间和两端
（五）顺序固定问题用“除法”
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将 这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的 排列数除以这几个元素的全排列数.
A.24
B.30
C.40
D.60
分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优 先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；
1) 0排在末尾时，有 A24 个；
2) 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排
十位有 A12A13A13 个；
C.11
D.23
分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难， 可用实验法逐步解决。
第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。
若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3。
若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。
同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应 填3。因而，第一格填2有3种方法。 不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种。
m1+m2+……+mn有种不同的方 有种不同的方法。
法。
分类记数原理针对的是
分步记数原理针对的是
“分类”问题，其中各种方 “分步”问题，各步方法相
法相互独立，用其中任何一 互依存，只有各步都完成才
种方法都可完成这件事。 能完成这件事。
3。排列与组合
排列
组合
定义
从n个不同元素中，任取 从n个不同的元素中， m(m≤n)个不同元素按照 任取m（m≤n）个不 一定顺序排成一列，叫 同的元素并成一组， 做从n个不同元素中取出 叫做从n个不同的元素 m个不同元素的一个排列。中取出m个不同的元
分析：若不考虑限制条件，则有
A
5 5
种排法，而甲，
乙之间排法有
A
2 2
种，故甲在乙前面的排法只有一种
符合条件，故
符合条件的排法有
A
5 5
A
2 2
即A53
种.
〈2〉三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙 三人的顺序不变，有几种不同排法？
A77 A33
A74
（六）分排问题用“直排法”
把n个元素排成若干排的问题，若没有其他 的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理. 例6 七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐 4人，则有多少种不同的坐法？
解析 赠送一本画册，3 本集邮册，共 4 种方法；赠送 2 本画册，2
本集邮册共 C24种方法，由分类计数原理知不同的赠送方法共 4＋C24
＝10(种)．
答案 B
考向二 分步乘法计数原理 【例 2】►(2011·北京)用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都 出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．
有 2×4＋C42＝14(个)．
• (2012·陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局
者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形
(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( C )
A．10种
B．15种
C．20种
D．30种
【解析】 由题意知比赛场数至少为 3 场，最多为 5 场．分三类： ①当为 3 场时，情况为甲或乙连赢 3 场，共 2 种． ②当为 4 场时，若甲赢，则前 3 场中甲赢 2 场，最后一场甲赢，共有 C23＝3(种)情况；同理，若乙赢也有 3 种情况．共有 6 种情况． ③当为 5 场时，前 4 场，甲、乙各赢 2 场，最后 1 场胜出的人赢，共 有 2C24＝12(种)情况． 由上综合知，共有 20 种情况．
（二）总体淘汰法(间接法）
对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不 符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。
例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复
数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种。
分析：五个数组成三位数的全排列有 A53个，0排在首位的
有 A42 个 ，1排在末尾的有 A42 ，减掉这两种不合条件的排
2020年6月16日星期二
一。复习回顾 1、知识结构
排列 基
本
原 理 组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
2。分类记数原理，分步记数原理
原理 区别
分类记数原理
分步记数原理
完成一件事可以有n类
完成一件事需要分成n个
办法，在第一类中有m1种不 步骤，第一步有m1种不同的 同的方法，在第二类中有m2 方法，第二步有m2种不同的 种不同的方法，……，在第 方法，……，第n步有mn种 n类办法中有mn种不同的方 不同的方法，那么完成这件 法，那么完成这件事共N= 事共N=m1×m2×……×mn
3.排列组合混合题的解题策略
解题原则：先选后排，先分再排
(1) 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是 先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素 （位置）法“优限法”；
(2) 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元 素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻 元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；
(3)某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素, 再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插 空法”.
(4) 间接法和去杂法等等.
解题技巧
（一）特殊元素的“优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元 素，再考虑其它元素。
例1 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字
的三位数，其中偶数共有（ B ）
3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种
装法 5
3
4
3号盒
4号盒 5号盒
（八）住店法
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复 的元素看作“客人”，能重复的元素看作“店”，再 利用乘法原理直接求解。
例8 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一 人获得，获得冠军的可能的种数有（ ）
练习. 8.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报 名方法的种数为多 少？五名学生争夺四项比赛的冠军
A 法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数
1 3
（为什么？）
故共有 A53 2 A42 A31 39 种。
若n个不同元素排m个位，a、 A53
b各不能排某位，则有
A42 A31 A42
Anm
2
Am1 n1
Anm22种排法。
（三）相邻问题——捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相
（2）八个人排成两排，有几种不同排法？
7 A88
（七）实验法（穷举法）
题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐 步寻求规律有时也是行之有效的方法。
例7 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的 四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号 与所填的数字均不相同的填法种数有（ ）
A.6
B.9
解析 法一 用2,3组成四位数共有2×2×2×2＝ 16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满 足条件的四位数共有16－2＝14(个)．