2011/2012学年（一）学期月考试卷《复变函数》试卷参考答案专业 电子信息工程 年级2010班级 姓名 学号一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、设),2)(32(i i z +--=则arg z =8arctan -π2、设C 为正向圆周2ξ=，3sin()() C f z d z πζζζ=-⎰，其中2z <，则1'()f =i 32π3、积分||711cos z zdz z =+=-⎰ .12i π 解：11cos zz+-在圆周7z =内部有三个孤立奇点1230,2,2z z z ππ===-2422211111111cos ()1(1)2!4!2!4!zz z z z z z zz z z ϕ++++==⋅=⋅---++-+因为212!4!z -+ 为复平面内的收敛幂级数，和函数()z ϕ是解析的，并且在0z =处不等于零，所以1()z ϕ在0z =处解析，可以展开为0z =处的泰勒级数。
又因为它是偶函数，泰勒级数中必不含z 的奇次幂项，所以可以写成24242c z c z +++ ，故242422221122(2)1cos z z c z c z c c z z z z z ++=⋅+++=++++- ，1Re [,0]21coszs z+=- 24222211111(2)(2)1(2)1cos 1cos(2)(2)1[1]2!4!2!4!1112(2)1(2)(2)(2)(2)z zz z z z z z z z z z z z z z ππππππππϕππϕπ++++===⋅---------++-++++-=⋅=⋅----令2u z π=-，得211211cos ()z u z u u πϕ+++=⋅-。
类似前面的讨论可得1Re [,2]21cos z s z π+=-。
同理可得1Re [,2]21cos zs zπ+-=- 故||712(222)121cos z zdz i i z ππ=+=++=-⎰4、若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=, 那么)(z f = c ic z ,2+为实常数.5、在01z <<内，函数1(2)(1)z z z -+的罗朗展式是101(1)112362n n n n z z ∞+=⎛⎫--+- ⎪⎝⎭∑二、选择题（每小题3分，共15分）：1、设)(z f 在点a 解析，点b 是)(z f 的奇点中离点a 最近的奇点，于是，使∑∞=-=0)()(n n n a z c z f 成立的收敛圆的半径等于（C ）． (A) 1++b a (B) 1+-a b(C) b a - (D) b a +2、若点a 为)(z f 的可去奇点，则Res((),)f z a =（C ）． (A) 21 (B) 21- (C) 0 (D) i3、设1:1=z c 为负向, 3:2=z c 为正向, 则⎰+=212sin c c c dz zx= ( B ) (A) i π2-(B) 0 (C) i π2(D)i π44、幂级数()!()!n n z n n+=∞∑120的收敛半径为（ D ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) +∞5、若,sin 1)(z z z f =则0,Re [(),]k s f z k π≠=（ C ） (A) πk 1 (B) 0 (C) πk k 1)1(-(D)k )1(-三、计算题（15分）（1）计算函数12)2)(1()(--+=z z z z f 在孤立奇点处的留数． 解：1()(2)zf z z z +=-的孤立奇点有两个120,2z z ==，它们都是一级极点。
11Re [(),0]lim (2)2z z s f z zz z →+==--，213Re [(),2]lim(2)(2)2z z s f z z z z →+=-=- 。
（2）计算积分220i e d ()xx a x a +∞-∞>+⎰．解：221()f z z a =+在上半平面内有一级极点ai ，故有 2Re [(),]lim()()()iz aizz ai e e s f z e ai z ai z ai z ai ai-→=-=-+ 22222i e d Re [(),]x a a ize e x i sf z e ai i x a ai aπππ--+∞-∞===+⎰。
（3）计算积分2421d x x x x +∞-∞++⎰解：令4210z z ++=，即4222222221(1)(1)(1)z z z z z z z z z ++-=+-=-+++(0z z z z =--=，则 242()1z f z z z =++在上半平面有两个一级极点121122z z +-+==。
1211Re [(),]lim()()z z z z s f z z z z f z →→=-=2==22222Re [(),]lim()()limz z z z s f z z z z f z →→=-=2==所以2124221d{Re[(),]Re[(),]}xx i s f z z s f z zx xπ+∞-∞=+++⎰32}23iππ===四、（9分）将函数1)]2)(1[()(-+-=zzzf在点0=z展成幂级数．、解：11111111()()(2)(1)31231612f zzz z z z z==-=--+--+-+1000111(1)(1)()[1]36232nn n n nnn n nzz z∞∞∞+===-=---=-+∑∑∑五、（9分）将函数1)(2-=zzzf在点1=z的去心邻域展成罗朗级数．解：22111()2(1)1111z zf z zz z z z-==+=++-----六、（9分）试求函数12)]1([)(--=zzzf的孤立奇点，并判定奇点的类别．解：1()(1)(1)f zz z z=-+有三个孤立奇点1230,1,1z z z===-。
显然1230,1,1z z z===-都是1(1)(1)()z z zf z=-+的一级零点，所以他们是()f z的一级极点。
七、（9分）讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-+=,0,))(()(4222zzyxixyyxxzf在原0=z处的可导性.解当点z沿直线kxy=趋向0=z时,))(())((lim)(lim)0()(lim4422220ikxxxkxixkxxkxxzzfzfzfxkxyxkxyx++-+==--→→→→→=.0)1)(1())(1(lim 243240=++-+→ik x k x i k k x x当点z 沿曲线2y x =趋向0=z 时,))(())((lim )(lim 0)0()(lim 2442242000iy y y y iy y y y y zz f z f z f y z z ++-+==--→→→ =.21)(2)1)(1(lim 20i i y iy y y =+-+→故0)0()(lim--→z f z f z 不存在, 从而)(z f 在0=z 处不可导.八、（9分）求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数, 并计算∑∞=122n n n 之值．解: 易知幂级数的收敛半径,1=R 在收敛圆1||<z 内设其和函数为),(z f 逐项求导得=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞='1)(n n nz z z f ''1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=n n z z z =.)1()1()1(13'2''z z z z z z z z z z -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛- 此时 ∑∞===12.6)21(2n n f n九、(10分) 计算积分 ⎰+∞>>+0222).0,0()(sin a m dx a x mxx 解 由题知 imz e a z zz f 222)()(+=有两个二级极点, 其中仅有ai z = 在上半平面. 且 ma ai z imz e am e ai z z dz d ai z f s -==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=4)(]),([Re 2 故有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+dx e a x x dx a x mx x dx a x mx x imx 2222220222)(Im 21)(sin 21)(sin .4]}),([Re 2Im{21mae am ai z f s i -==ππ。