(7) f ( z ) e
1 z 1
5. 函数在无穷远点的状态
定义
若函数 f ( z )在R z 内解析，那么称点 为f ( z )的孤立奇点。
规定
1 z 在f ( z )的状态与 t 0在f ( )的状态相同。 t
将函数 f ( z )在R z 展成幂级数
n n
cn中不含正幂项； m 阶极点 - - - 展式中含有限项正幂 , 且z m为最高正幂； 本性奇点 - - - 展式中含无穷项正幂项 。
§5.2 留数(Residue)

1. 留数的定义
2. 留数定理
又f ' ( z ) ( z 1) 3 z( z 1)
3
2
f " ( z ) 6( z 1) 6 z( z 1)
2
f ' ' ' ( z ) 12( z 1) 6( z 1) 6z
f ' (0) ( 1) 0
3
z 0为一阶零点
n
得证！

求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立 奇点的留数。
3. 留数的计算规则
一般求 Res [f (z), z0] 是采用将 f (z) 在 z0 邻域内
展开成洛朗级数求系数 c–1 的方法, 但如果能先知道
奇点的类型，对求留数更为有利。
以下就三类孤立奇点进行讨论：
( i )若z z0为可去奇点 c1 0 Re s[ f ( z ), z0 ] 0
f ' (1) 0
f ' ' (1) 0
f ' ' ' (1) 6 0
z 1为 阶 点 三 零
1 定理: 若z0是f ( z )的m阶极点 z0是 的m阶零点 . f (z)
证明 “” 若z0为f (z)的m 阶极点 1 f (z) g( z ) g( z )在z0解析, 且g( z0 ) 0 m ( z z0 )
1 sin z 的孤立奇点。
这说明奇点未
必是孤立的。
故z 0不是
1
o
x
2. 分类
以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：
sin z z2 z4 z 2n (1) 1 ( 1) n z 3! 5! ( 2n 1)!
c2 cn
用2i 除上式两边得: n 1 1 c f ( z )dz 2i ck f ( z )dz 2i k 1
D
Re s[ f ( z ), z k ]
k 1
n
c
z3 zn
z1 z2
故 f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), zk ]
c k 1
( z )在 z0 解析, 且 ( z0 ) 0 .
z0是f ( z )的m阶极点 .
z 的奇点， 例 求f ( z ) 2 z (1 z )(1 e ) 如果是极点指出它的阶
解
。
显然，z=i 是(1+z2)的一阶零点
e z 1 0, 即 e z 1 z Ln( 1) i ( 2k ) ( 2k 1)i 故 奇 点 为 ： k ( 2k 1)i z
f ( z ) cn ( z z0 )
n 0
n m
由Taylor级 数 的 系 数 公 式 有 : f ( n ) ( z0 ) 0 ( n 0,1,2, , m 1), f ( m ) ( z0 ) 而 c0 0 m! 必要性得证！
充分性略！
例如 z 0与z 1均为f ( z ) z( z 1)3的零点。
特点：没有负幂次项 e z 1 z n z n 1 1 z z n 1 ( 2) 1 z z n 0 n! n 0 n! z 2! n! 特点：只有有限多个负幂次项 1 1 2 1 n 1 z ( 3)e 1 z z z 2! n! 特点：有无穷多个负幂次项
( ( z0 ) 0, ( z )在z0点解析, m N ) ( n) (m) f ( z0 ) 0( n 0,1,2, , m 1) f ( z0 ) 0.
事实上， ( z ) cn ( z z0 ) n
n 0
c0 ( z 0 ) 0
3. 留数的计算规则

4. 在无穷远点的留数
1. 留数的定义
f ( z )在c所围成的区域内解析 0 c f ( z )dz 未必为0 c所围成的区域内含有( z )的奇点 f
设f ( z )
n
c

n
( z z0 ) ,0 z z0 r
n
( z0是f ( z )的孤立奇点 c包含z0在其内部) ,
综合 z i为f ( z )的二阶极点 ;
z k i ( 2k 1) ( k 1,2, )为f ( z )的 一阶极点 .
练习：考察下列函数的 极点，指出它的阶数。
1 (1) f ( z ) 2 z z (e 1)
孤立奇点，奇点类型，
如果是
ln(1 z ) ( 2) f ( z ) z
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z
c k 1
n
k
]
( 3)
证明
用互不包含 互不相交的正向简单闭 ck , 曲线 ( k 1,2, n)将c内孤立奇点 k围绕, z
由复合闭路定理得：
f ( z)dz
c
c1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
其 中: g ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c m 2 ( z z0 ) 2 , g ( z )在 z z0 内是 解析 函数且 ( z0 ) 0. g
z 2 3z 2 例如： f ( z ) 2 4 ( z 1)( z 1)
(1 e )'
z
z i ( 2 k 1)
k 0,1,2,
e
z
z i ( 2 k 1)
[cos ( 2k 1) i sin (2k 1)] 0
zk i ( 2k 1) ( k 0,1,2,)是1 e z的一阶零点
z z0
( 4)
规则II 若z0是f ( z )的m阶极点
1 d m 1 Re s[ f ( z ), z0 ] lim m 1 ( z z0 ) m f ( z ) ( m 1)! z z0 dz
z=1为f (z)的一个三阶极点， z=i为f (z)的一阶极点。
若z0为f (z)的本性奇点
f ( z )的 洛 朗 级 数 有 无 穷 多 项 幂 次 项 负 lim f ( z )不 存 在 ， 也 不 为
n
4. 零点与极点的关系
定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成
( ii )若z z0为本性奇点 f ( z )
展开
cn ( z z0 ) n
Re s[ f ( z ), z0 ] c1 ( iii)若z z0为极点时，求 s[ f ( z ), z0 ]有以下几条 Re
规则
规则I
若z0是f ( z )的一阶极点 , Re s[ f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z );
f ( z ) ( z z0 ) m ( z )
其中： ( z0 ) 0, ( z )在z0点解析, m N
则称z=z0为f (z) 的m 阶零点。 例如： z 0与z 1分别是 f ( z ) z( z 1) 3 的一阶 与三阶零点。
定理
f ( z ) ( z z0 ) m ( z )
由留数定义,
Res [f (z), z0]= c–1
(1)
1 故 Re s[ f ( z ), z0 ] c1 c f ( z )dz 2i
( 2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线 函数f ( z )在c内有 ,
有限个孤立奇点 1 , z 2 , , z n , 除此以外, f ( z ) z 在c内及c上解析, 则
1 1 m ( z z0 ) ( z z0 ) m h( z ) f (z) g( z ) ( z z0 )

h( z )在z0解析, 且 h( z0 ) 0 .
1 1 1 lim 0, 令 0， 则z 是 的m阶零点 . 0 z z0 f ( z ) f ( z0 ) f (z)
cn ( z z0 ) n

只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 阶极点; ~~~~~~~~
( iii) f ( z )
n
有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。 ~~~~~~~~
3. 性质
若z0为f (z)的可去奇点
f ( z ) cn ( z z0 ) n lim f ( z ) c0
~~~~~~~~~
例如 f ( z ) e
1 z
----z=0为孤立奇点
1 f (z) ----z=1为孤立奇点 z 1
f (z) 1 1 sin z
----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
1 但 lim 0, 在z 0不论多么小的去心 n n y 邻域内 总有f ( z )的奇点存在， ,