专题二 一元二次方程
教学目标:
1.会根据判别式判别一元二次方程根的情况。

2.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。

重点：根与系数关系的推导与应用
难点：根与系数关系的推导与应用
教学方法：讲授法、讨论法、启发法
学法指导：分类讨论思想
教具：多媒体
教学过程：
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．
1．一元二次方程的根的判断式
一元二次方程20 (0)a x b x c a ++=≠，用配方法将其变形为： 222
4()24b b ac x a a -+= ． 由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-
对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有
[1]当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根： 242b b ac x a
-±-= ；
[2]当Δ
= 0时，方程有两个相等的实数根： 1,22b x a
=- ； [3]当Δ < 0时，方程没有实数根．
2．一元二次方程的根与系数的关系
定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 1212,b c x x x x a a +=
-=
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达
定理可知
x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，
所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x
2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0。

说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式
例2 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：
(1) 2212x x +(2) 12
11x x + (3) 12(5)(5)x x -- (4) 12||x x -． 答案（1）4018 （2）22007
（3）-1972 （4）4502
思考： 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-
成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
(2) 求使1221
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．
答案：（1）不存在。

（2）k=-2,-3,-5
例1不解方程，判断下列方程的实数根的个数： 222(1)2310 (2)4912 (3)5(3)60x x y y x x -+=+=+-
=说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-， 12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-，2121212||()4x x x x x x -=+-， 2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整
体代换思想．
【巩固练习】
1．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则
1211x x +的值为( A) A ．2 B ．2-
C ．12
D ．92 2．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式
2(2)M at b =+的关系是(A )
A ．M ∆=
B ．M ∆>
C ．M ∆<
D ．大小关系不能确定 3．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20
x qx p ++=的两实根，则p = ___-1 __ ，q = _ -3____ ．
4．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = __3_ __ ，b = ___3__ ，c = ____0_ ．
5．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．
板书设计
一元二次方程
1.一元二次方程根的判别式 例1
（1）
（2）
（3） 例2
2.一元二次方程的根与系数的关系
定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ， 1212,x x x x +==
作业：A 类：巩固练习1、3 所需时间2分
B 类：巩固练习2、4 所需时间3分
C 类：巩固练习5 所需时间5分
作业中出现的主要错误：A 类的第三题写的不是最简结果，C 类的第5题错的最多，m 的值大部分学生都能求出来，然后代入，就用判别式发现判别式恒大于0即说明方程有实根，学生忽视了只有一元二次方程才有判别式，未分类讨论。

强调分类讨论思想及做题步骤的规范性。

课后反思;
对于二次方程的配方，学生大部分忘了，只记得结果，但不会推导，要强化学生推导过
程，自己推导发现韦达定理，对于韦达定理的应用，要引导学生往两根之和及两根之差方向上配凑。

对方程的讨论，系数为0与不为0 的讨论，强化分类讨论思想。

学生做题步骤不规范，卷面凌乱，今后要提醒学生多多注意做题的规范性。