数学模型在地质学中的应用一、绪论数学模型是一门新兴学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学．数学模型就是通过研究观察到的现象及实践经验，将其归结成一套反映其内部因素数量关系的数学公式、逻辑准则和具体算法，用以描述和研究客观现象的运动规律．它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、理论和方法进行深入的分析和研究，从定性或定量的角度描述实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据和可靠的指导．数学建模是指建立数学模型，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化等方法来建立能够近似描述和解决实际问题的一种强有力的数学手段．数学模型的应用相当广泛，在分析与设计、预报与决策、控制与优化、规划与管理等方面都发挥了巨大的作用，取得了良好的社会效益和经济效益，为世人所瞩目，成为知识经济的推动力．同样，在广泛的地质学领域中，数学建模也处处存在，数学建模的存在，将地质学的发展推向了一个新的浪潮，可能有希望将地质学从一门定性科学转换成为一门定量科学[1]．如今，在地质学的众多分支学科中，数学模型都得到了极其广泛的应用．本文主要运用数学模型来分析地质学中的一些实际问题，并把两者有机的结合起来，拓宽数学模型的发展领域，增加其对实践的指导意义，并为地质学的研究与发展提供新的方法．二、数学模型在矿产资源评价中的应用在矿产资源评价中，地质模型和数学模型的结合点是按有效的成矿理论建立区域成矿模式，然后用数学模型逼近，确定成矿地质条件与矿产资源量之间的关系，建立定量评价模型．简言之，矿产资源定量评价模型是用数学语言阐明地质条件与矿产资源量之间的关系[2]．矿产资源评价中的数学模型是实现定量评价的工具，在矿产资源评价的实际工作中使用的数学模型可以是概率统计模型，也可以是确定性模型．1973年，D．P．Harris确定了矿产资源量（R）与地质条件（g1、g2、……、g n）之间的数学关系：R= f（g1、g2、……、g n）+ e + μ（1）式中，f为g1、g2、……、g n的函数，在一般情况下指评价使用的数学模型；e为函数f（g1、g2、……、g n）的估计误差；μ与g1、g2、……、g n以外的地质变量有关．公式（1）表明了地质模型转化为数学模型的基本原理，同时也表明了可以用数学模型来沟通矿产资源量与地质环境．从中也可以看到采用合理的数学模型描述矿产资源与地质条件之间关系是矿产资源评价实践的关键．随着数学模型的引进，矿产资源的评价进入了新的时代，用数学模型评价矿产资源，用经济指标圈定矿体成为主流．对于用经济指标圈定矿体，一种指标代替多种指标，不仅方便快捷，而且是经济合理的．下面介绍评价矿产资源的几个常用模型．矿产资源经济指数计算公式：σt=[(P0+△P t)/P0]/[(Q0+△Q t)/Q0]=αt/βt （2）式中，σt为矿产资源经济指数；P0、αt分别为基准年和t年矿产资源工业储量潜在价值及指数；Q0、βt分别为基准年和t年沿海地区工业总产值及指数；△P t、△Q t分别为矿产潜在价值增量与工业总产值增量．矿山资产评估模型（此处为期权定价的Black-Sholes模型）：C=e-r T [FN(d1)-XN(d2)] （3）其中d1=[ln(F/X)- (σ2/2)T]/ σ[(T)1/2]，d2= d1-σ[(T)1/2]．式中，C为欧式看涨期权的价格；X为执行价格；T为一年表示的权利期间的长短；r为瞬间的无风险利率；N为累积正态分布函数；F为商品期货价格；σ为标准的资产价格的波动性．这些模型在矿山开发利用方面发挥了巨大的作用，有利于资源的有序开发与保护．三、数学模型在褶皱分类中的应用根据褶皱在沿垂直于褶皱轴向的剖面上的几何形态，可把褶皱归为两种基本的形态：半波褶曲（背形或向形），完整褶皱即谐波褶皱（背形连向形）[3]．两者可以分别表达为：Z=ax2 （抛物线型）（4）Z= b×sin（nx + c）（谐波型）（5）式中，a、b、c、n均为实参数．此数学抽象基于两点考虑：一是单性原则，即基本的褶曲形态作为参与褶皱叠加的几何元素，应具有简单性，以便讨论问题；其二是完备性原则，即起码在数学的意义上可用（4）和（5）式给出其它复杂褶皱形态足够好的逼近．其实用傅立叶分析的方法来分析褶皱形状已是广泛讨论过的课题，该方法的实质便是用一系列三角函数来逼近任意形状的曲线（面）．对一个褶皱分析，往往只需要傅里叶展开式的前几项就可以满足地质精度了．此处建立的上述对褶皱叠加元素的数学抽象，使千变万化的褶皱叠加现象，有了统一的数学基础，从而简化了对褶皱叠加的讨论．从褶皱叠加演化序列上分析，叠加褶皱实际上是递进变形过程，或后期对前期褶皱干涉的结果．当两期褶皱的干涉作用发生于空间的不同方位时，其结果较为复杂．此处只列举两种特定方位即两期褶皱轴向平行或垂直的叠加褶皱的数学表达式．Z=a1x2与Z=a2x2或Z=b1sin（n1x+c1）与Z=b2sin（n2x+c2）的叠加．写成数学表达式就是：Z=（a1+a2）x2（6）Z= b1sin（n1x+c1）+ b2sin（n2x+c2）（7）（6）式表示的褶皱仍是抛物线型的，但比原褶曲更为舒缓（a1a2＜0）或更为拱起（a1a2＞0）．（7）式表示的叠加褶皱仍是谐波型的：当n1/n2为有理数时形成的叠加褶皱在空间上具有周期性，否则具准周期性．四、数学模型在矿山断层构造研究中的应用由于对矿山小断层构造认识不清楚，探测力度不够，构造预测准确性差，给矿山生产和建设带来很多困难．同时，因对小断层构造认识不清而导致底板突水，淹没工作面，甚至淹没矿井的现象也时有发生．所以，必须对矿山的小断层进行探查预测，并尽量提高预测的准确性．利用数学地质中统计分析的方法，通过对已被揭露的小断层构造的分析研究，经过数学计算，建立一种数学模型，用它来拟合矿井小断层构造的出现和展布规律，从而达到对矿山小断层构造既定性又定量的认识[4]．矿山小断层构造的出现和展布规律，受到多种地质因素的影响．因此想要判断、预测矿山小断层，需要研究多个地质变量间的相关关系．数学模型的建立需要多元回归分析的方法来解决．通过对大量矿山小断层的解剖分析，从诸多影响因素中，选出了一些对因变量起主要作用的自变量，并将其引入回归方程，作重点分析，而把其次要作用的自变量除去，既避免了过分繁琐的数学计算，又使得到的回归方程具有较高的精度．所选用的主要因素有：（1）断层的断距；（2）断层的走向延展长度；（3）井下揭露断层地点的标高．预测矿山小断层的数学模型，其推导重点是应用数理统计中回归分析的方法，应用最小二乘法原理确定回归平面．设变量Y 依赖于k 个自变量X 1，X 2，X 3，……，X k ，根据实际观测资料得到如下的数据（表1）：表1 自变量X 观测数据X 1X 2 …… X i …… X k Y X 11X 21 …… X i1 …… X k1 Y 1 X 12X 22 …… X i2 …… X k2 Y 2 ：： ： ： ： ： ： X 1JX 2J ： X iJ ： X kJ Y J ：： ： ： ： ： ： X 1n X 2n …… X in …… X kn Y n表中：X iJ 表示第J 组数据、第i 个自变量的数值，其中i=1、2、3、……、k ，J=1、2、3、……、n ．为了反映自变量X i 与因变量Y 之间的关系，首先配一个回归平面：Y=b 0+b 1X 1+b 2X 2+……+b k X k （8） 使实际观测值y i 与平面（1）上的相应y i 之间的偏差平方和21()n j j j y y ω∧==-∑ （9）为最小．为了满足上述条件，利用最小二乘法原理和微分学知识，构造k 元一次方程组，可以解出回归系数b 0、b 1、b 2、……、b k ，将其代入（8）式可得所要求的回归平面方程．然后，应用F 检验法．取统计量：n-k-=k F S 回偏（1）S （10） 根据给定的信度α，查F 分布表，找出临界值F α，比较F 与F α的大小，对回归方程进行显著性检验．①若F ≥F α，回归方程显著；②若F ＜F α，回归方程不显著．五、数学模型在矿山水文地质中的应用矿坑涌水量是确定矿床水文地质类型，矿床水文地质条件复杂程度和评价矿床开发经济技术条件的重要指标之一．矿坑涌水量预测是随着矿床地质勘探程度的深入和对矿床水文地质条件的深化而逐渐完成的，可以分为三个步骤：第一步：建立水文地质（概化）模型．其要求是：（1）概化已知状态下矿区水文地质条件；（2）给出未来开采井巷的内部边界条件；（3）预测未来开采条件下的外部边界．第二步：选择计算方法，建立相应的数学模型．第三步：求解数学模型，评价预测结果．矿山设计中，矿坑涌水量是水文地质设计中的最重要的环节之一．在各种水文地质资料收集齐全的情况下，选择合理的数学模型计算矿坑涌水量是重中之重[5]．数学模型是工具，是用来对水文地质概化模型进行数学描述的[6]．即使概化模型正确，还有赖于建立一个适合于概化模型的数学模型，才能获得满意的预测涌水值[7]．六、数学模型在三维地质建模中的应用地质体作为一种复杂地质现象的表现，很早就为人们所重视，为人类社会的发展做出了巨大贡献，解决了生产资料问题，但一直停留在人们思维推理加现场验证，费时费力，无法进行现场模拟，无法进行现实再现．现在有了数学建模和计算机进入地学领域，一切问题迎刃而解[8]．在石油和天然气的勘探和开发中，三维建模可谓大放异彩，用地震法等获得数据，通过一定的数学模型，可以生成油藏的三维位置图，可谓真实再现．它还可以结合钻井资料，并结合地震解释层面、断面模型、剥蚀面及切断面关系之间的数学关系，生成石油储层模型，为计算油藏体积和经济开发服务．在这方面，不规则三角网（图1）和棱柱模型为三维建模提供了可能，使能源开发定量化．除了资源，在工程地质上，三维地质建模也发挥了巨大作用．基于离散数据集的曲面插值拟合方法，精确通过工程勘察数据点，获得光滑的地质界面的数学模型，可以用于表达地形、地下水位面、岩层面、构造面等各种地质界面和岩土体物理力学参数的空间分布，为安全而精确的地下施工提供了依据．它主要利用了拟合函数，插值函数和权重函数等，生成一幅符合实际的三维施工图．最常见的三维显示模型如下：依据三维坐标转换可以导出三维点（x，y，z）和鸟瞰显示的平面二维坐标（u，v）之间的数学变换公式：u=(xcosα-ysinε+l)/(xsinαsinP+ycosαsinP+zcosP+n) (11) v=[(xsinαcosP+ycosαcosP-zsinP+m)D]/(xsinαsinP+ycosαsinP+zcosP-n)(12)式中（l，m，n）为坐标之间的平移量（视点坐标和三维坐标位置坐标系之间的原点平移量）；α为投影（鸟瞰方向）的方位角；P为投影（鸟瞰方向）的俯仰角；D为二维投影平面（进行三维显示的平面）到视点的距离．图1 不规则三角网及其生成过程七、数学模型在地球物理中的应用地球物理作为地球科学的一门重要学科，数学模型在其中发挥了巨大的作用，特别是在地球物理勘探方面，出现很多有用的数学模型，为电磁法和地震法等方法的解译提供了很好的数学基础．在石油勘探方面，地震法发挥巨大作用；在铁矿找矿方面，磁法功不可没．这都是数学模型在反演计算中发挥巨大作用的结果，使结果更加准确可靠．对于电法，常用的数学模型有，二维构造条件下的MT（大地电磁法）数学模型[9]，以及CSAMT二维正演数学模型．八、数学模型在地球化学中的应用地球化学在寻找资源方面发挥了巨大作用，根据统计得出地球各元素的含量，建立起一个地球元素含量数学模型，然后在一些地方进行化学勘探，把得出的元素含量结果，输入数学模型，得出异常图，便可以找出异常地区的矿体．这其中要用到一些权重函数和插值函数，外加当地的各种因素，用这些函数进行权重比较和成图，得出需要的结果．目前，在前沿的缓变型地球化学灾害的研究中，数学模型发挥很大作用[10]．所谓缓变地球化学灾害是指通过长期积累而存在于土壤或沉积物中的包括重金属和有机污染物在内的环境污染物，因环境物理化学条件（例如温度、PH值、湿度、有机质含量等）的改变减小了环境容量，某种或某些形态的污染物大量地被重新活化和突然释放出来并造成严重生态和环境损害的灾害现象．这种灾害具有明显的特征，其定量数学模型可较完整地概括出环境系统从“干净”到“污染”再到“灾害”的整个过程，可用于灾害的风险评估、预测、灾害爆发轨迹等方面的研究，为土壤污染防治和灾害预警提供了定量研究工具和可供实际采用的基本手段，可为当前的生态环境地球化学评价提供指导．其中，提出了一个著名的爆发时间公式，如下：t=[m(c BCP-c)]/v式中，m表示一个质量为m的土壤系统，且假定污染物输入后在系统均匀分布；c 表示当前污染物的浓度；c BCP表示爆发临界点的值；v表示污染物的输入速度；t表示缓变型地球化学灾害所需的时间．九、展望人类正进入信息社会时代，面临许多发展与对策问题．应用数学也同步进入一个新的发展阶段，国际间已多次举行过有关数学等方面的学术性会议，并且应用数学在科学、技术、生产、管理方面的应用也越来越广泛、深入，在航天，医学、生物学，地质学，图形处理等领域的前沿阵地上都发挥着重要作用．一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步．陈述彭院士说过：“没有数学模型，人们辛勤获取的大量观测数据，就像一盘散沙，找不出其中哪些是璀璨的金粒，哪些能够显示出本质性的规律，从中提取有效的信息，升华为科学知识．”作为地学和遥感领域的专家，陈先生一句话点明了数学建模在地学中的巨大作用．上述只是介绍了数学模型在地质学一些领域内的应用，另外在地质学的其它方面，数学模型也发挥了巨大的作用，例如在遥感地质学、沉积地质学、矿物学、地质灾害预测等领域都有着不可替代的重要作用．随着现代科学技术从定性研究转向定量研究的发展趋势，在一切学科中，无论是高技术领域，还是描述密集性的学科，数学都将发挥着关键性的作用．参考文献1．翦知湣．地学发现中的数学模型方法，同济大学学报，1992，3（1）：109-114. 2．朱裕生，余金生，李裕伟. 矿产资源评价中的数学模型，矿床地质研究所所刊，1986，1：57-88.3．刘德良，杨晓勇，陈增兵. 复合褶皱数学模型的应用，安徽地质，1995，5（4）：74-79.4．冯兆安，张树国，张兆强.矿山小断层构造预测中数学模型的建立及应用，山东煤炭科技，2001，3：43-45.5．吴志刚.浅谈数学模型在矿山水文地质中的应用，化工矿物与加工，2004，2：33-34. 6．胡琏. 试论水文地质数学模型及其应用. 水文地质工程地质，1986(5)：11-15. 7．涂国强，杨立中，贺玉龙等. 地质灾害预测数学模型研究，四川师范大学学报，2001，24（6）：637-639.8．曾钱帮，何小萍．三维地质建模的数学模型与显示方法，工程地质计算机应用，2006，43（3）：1-8．9．胡建德．电法勘探中的数学模型，数学实践与认识，2004，34（2）：27-31．10．陈明，冯流，周国华．缓变型地球化学灾害：特征、模型和应用，地质通报，2005，24（10）：916-921．附录最初接触数学模型时，以为数学模型是一门高深的课程，没有扎实的数学基础是很难掌握的，由于专业的限制，自己拥有的数学知识很有限，仅限于初高中及大学中的高等数学，概率论及线性代数，所以一直不敢参与数学建模竞赛之类的活动中．然而，通过对数学模型的学习，我发现之前对数学模型的理解都是不准确的．数学模型并非遥不可及，反而很贴近我们的生活，因为它解决的是现实生活中的问题，它源于实践，是对现实的模拟．数学建模不需要深奥的数学知识，一个恰当的公式或许就可以成就一个伟大的模型．我也意识到自己就曾经多次用数学方法来解决生活中出现的问题，终于明白了数学是一种必备工具，离开了数学，生活中的许多问题都会无法解决．通过学习我意识到数学模型需要人们有丰富的想象力和洞察力，外加那么一点灵感，才能把模型建立起来，而以前已经学过的微积分、线性代数等都成了求解所建模型的一种工具．通过韩老师的讲解下我才对数学模型有了全面认识．在上课期间感觉到老师渊博的学识与灵活的教学方式．老师在数学模型这门课的讲解中把理论与实例紧密的结合，不仅增加了课程的实用性同时在提高学生学习兴趣方面都大有裨益．另外老师严谨的学风，兢兢业业的治学态度，缜密的思维方式，以及对学生谦逊和蔼的教学态度都让我受益匪浅．因为学习的过程不单单是传授知识，更多的是良好思维习惯的培养与个人能力的提升，非常感谢韩老师将这一点很好的融会到教学实践过程中传授给我们．在写此篇论文过程中，我搜集并查阅了大量的文献资料，了解到数学模型在我的专业——地质领域中有着广泛的应用，数学模型的建立为解决实际地质问题提供了一个经济有效的方法，大大提高了解决实际问题的便捷性．数学建模有重要的价值和实际意义，必将会在现实得到更普遍的应用，为解决实际问题发挥其独特的作用．。