数学模型在现实生活中的应用
——如何乘车最省时
清远市第一中学 2006届高一（12）班
课题组成员：
组长：禤文考
组员：朱沛华、曾志伟、姚天发、李峰、李雪峰
指导老师：郭智君
问题的提出：
我们小组6人要到距学校km 10的某地进行实地考察。
我们只有一辆自行车作为交通工具（自行车只能一个人骑再乘搭一个人），且自行车的速度为h km /14，步行的速度为h km /4，每人都从学校出发到全部到达目的地，我们最快要多长时间呢？ 课题目的：
通过建立数学模型的方法来解决问题的实践，使我们对数学模型这种重要的数学方法有一个更深刻的理性认识。
课题研究方法：
查阅有关资料，了解数学建模的方法、步骤。
课题研究过程：
方案一：一起步行到达目的地。
若我们一起步行到达目的地，则我们所需要的时间为
h h
km km 5.2/410=。
方案二：用自行车轮流把每个人从学校送到目的地。
只有一辆自行车，且只能乘搭一人，一人骑车把其余五人每人逐个从学校送到目的地，自行车在送前四个人到达目的地后都要返回，送最后一个人不用返回，那么自行车行驶的路程是km 90101042=+⨯⨯，所以从第一个人出发到全部到达目的地的时间是h h
km km 4.6/1490≈ 方案三：边步行边用自行车来回地接送（每次都送到目的地），直到全部到达目的地（没有同时到达）。
出发时一人骑自行车并乘搭一人，剩余四人步行前往目的地，乘自行车的到达目的地时所用时间是
h h km km 75/1410=，这段时间这四人步行了km h h km 7
2075/4=⋅，自行车返回直到与这四人相遇时所用时间是h h km h km km km 6325/14/472010=+-，这段时间这四人步行了
km h h km 63
1006325/4=⋅。
此时他们与目的地的距离是km km km km 9
506310072010=--
，自行车又乘搭一人，剩余三人步行前往目的地，乘自行车的到达目的地时所用时间是h h km km 63
25/14950=，这段时间这三人步行了km h h km 63
1006325/4=⋅，自行车返回直到与这三人相遇时所用时间是h h km h km km km 567
125/14/463100950=+-，这段时间这三人步行了km h h km 567500567125/4=⋅。
此时他们与目的地的距离是km km km km 567
175056750063100950=--，自行车又乘搭一人，剩余二人步行前往目的地，乘自行车的到达目的地时所用时间是h h km km 567
125/145671750=，这段时间这二人步行了km h h km 567
500567125/4=⋅，自行车返回直到与这二人相遇时所用时间是h h km h km km km 5103
625/14/45675005671750=+-，这段时间这二人步行了km h h km 510325005103625/4=⋅。
此时他们与目的地的距离是km km km km 51038750510325005675005671750=--，自行车又乘搭一人，剩余一人步行前往目的地，当乘自行车的到达目的地时，所用时间是h h km km 5103
625/1451038750=，这段时间这一人步行了km h h km 510325005103625/4=⋅，自行车返回直到与这一人相遇时所用时间是h h km h km km km 45927
3125/14/45103250051038750=+-，这段时间这一人步行了km h h km 45927
12500459273125/4=⋅。
此时他与目的地的距离是km km km km 45927
4375045927125005103250051038750=--，自行车乘搭他到达目的地时所用时间是h h km km 45927
3125/144592743750= 由此可知，我们全部到达目的地所用的时间是
h 3.245927
107005459273125459273125510362551036255671255671256325632575≈=++++++++ 方案四：边步行边用自行车来回地接送（没有都送到目的地），直到全部到达目的地（同时到达）。
我们六人同时出发，除了骑自行车一人之外还有五人，这五人在前往目的地的途中都要
乘搭一次自行车，且每人乘搭的距离都相等，这意味着这五人要步行的距离都相等，这样我们同时到达目的地。
在计算我们同时到达目的地所用时间之前，不妨先计算出这五人每人乘自行车的路程和步行的路程。
设每人乘自行车的路程都是a （km ），步行的路程都是b （km ），则10=+b a （km ）。
如下图，左端A 表示学校，右端J 表示目的地，五人同时从学校出发，AC 、BE 、DG 、FI 、HJ 分别表示甲、乙、丙、丁、戊五人乘自行车的路程，水平虚线表示这五人步行的路程。
由设计方案可知，AC=BE=DG=FI=HJ=a ，CJ=AH=b ，AB=BD=DF=FH=4
b ，CB=ED=GF=IH ，自行车行驶的全部路程是
AC+CB+BE+ED+DG+GF+FI+IH+HJ=5AC+4CB=5AC+4(AC-AB)=9AC-4AB=b a -9
又自行车行驶的时间等于一个人乘自行车的时间加上步行时间，所以
414149b a b a +=- ……① 又 10=+b a …………② 由①②得518=a ，532=b ，所以我们同时到达时所需时间是86.17
131********≈=-⨯
(h )。
结论：由以上四个方案分别得出的时间可知，方案四是最佳的，我们全部到达目的地的最快时间需要约86.1小时。
心得体会：
通过此次实践研究活动，我们不仅学会了建立数学模型解决实际问题的方法，还体会到团结合作精神的强大力量。
指导老师评语：
数学模型是解决现实生活生产中一些最优方案的数学方法，禤文考等同学选择这一课题，可见他们已经懂得把学到的知识用到生活中去，用科学知识指导自己的活动，在生活中体验到了学到知识的乐趣。
表示每人乘自行车路程
表示每人步行路程
表示自行车返回
C J
D
E
F
G
H
I B 甲
乙
丙
丁
戊。