0
0 200
1
0
x3
-1
0 600
x4 =k1 -1 +k2 1 + 0 。
x5
0
1 -200
x6

1
0
3.3 问题解答
由于 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 为非负整数 , 所以
k1 , k2 要满足 0≤k1 ≤600, k2 ≥200。 基础解系 (1 0 -1 -1 0 1 1)T表示沿折线 DC,
600
0 0 0 1 0 1 -1
0
0 0 0 0 1 0 -1 -200 X=[ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ] T。
显然 , 在这一方程组中 , 未知数个数多于方程
的个数 , 是欠定方程组 。所以 , 当方程组的系数矩
阵 A的秩与增广矩阵 [ Ab]的秩相等时 , 该问题有
广矩阵化为最简行阶梯形矩阵 , 得数据
1 0 0 -1 -150
ans=0 1 0 00 1
-1 -1
0 150
000 0 0 由此可确定对应的齐次方程组的基础解系以
及非齐次 方程组的通解 。 由于增广矩阵 的秩为
3, 而方程组含有 4个未知数 x1 , x2 , x3 , x4 , 有一个
自由未知数 x4, 故方程组的通解
摘要 :本文给出了线性方程组的分类以及在交通流量 、人口预测等方面的应用 , 促进工 程数学与实际问题的融 合 , 并用 MATLAB给出了解法 , 印证了数学的广泛应用性 。 关键词 :数学建模 ;线性方程 ;案例分析 ;MATLAB求 解 中图分类号 :G642 文献标识码 :A
MathematicsModellinginLinearAlgebraApplicationCase
第 27卷 第 2期 2009年 4月
江 西 科 学
JIANGXI SCIENCE
Vol.27 No.2 Apr.2009
文章编号 :1001 -3679(2009)02 -0188-05
数学建模在线性代数中应用案例
黄 炜
(宝鸡职业技术学院基础部 , 陕西 宝鸡 721013)
取 k1 =0, k2 =200, 得 [ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ] =[ 200 200 600 200 0 0 200] , 将对应数据填写 ,
得图 3。
显然 , 这一问题的解是不唯一的 。
第 2期
黄 炜 :数学建模在线性代数中应用案例
案例 1:设 1个 “井 ”字性公路环网 , 均为单向 行驶 , 8个街道路口的车流量有数据记录 , 已知在 8个街道路 口的车辆数目 如图 1所示 , 试问 x1, x2 , x3 , x4 路段上的车辆数目是多少 ?
图 1
2.1 问题分析与数学模型 在图 1中的任何一个路口 (十字路口或丁字
路口 )处 , 都有车辆流进和流出 。当一天结束后 ,
然后用命令 r1 =rank(A), r2 =rank([ Ab] )计算 系数矩阵的秩 r1 和增广矩阵 [ Ab] 的秩 r2 , 得 r1 =5, r2 =5。 这说明系数矩阵和 增广矩阵的秩相 等 。最后用命令 rref([ Ab] )将增广矩阵化为最 简行阶梯形矩阵 , 得数据
1 0 0 0 0 -1 0 200
驱动 , 思索 , 研讨 , 做结论 [ 3] 。
1 线性方程组的分类
根据实际情况可将线性方程组分为三类 :适 定方程组 、欠定方程组和超定方程组 。
当方程组中实 际的方程数等 于未知数 个数 时 , 这一类方程组称为适定方程组 。如果其系数 矩阵可逆 , 适定方程组有唯一的解 。求解适定方 程组的方法有克莱姆方法 、消元法 、矩阵分解法 、 迭代法等 。
无穷多组解 。由于图 1 中街道都是单行道 , 每一
街道上的车流量只能是正数或者是零 。故应在方
程组的解集合中寻找非负解 , 如果方程组没有解
或者没有非负解 , 则说明问题所给的数据有误。
求解问题分 3步 :第 1步 , 判断方程组是否有解 ;
第 2步 , 如果有解则求出方程组的通解 ;第 3 步 ,
0 前言
在现代经济社会 , 信息高速发展 , 数学与应用 数学的应用取得巨大成功 , 数学已直接应用于工 程技术 、生产活动 、医药卫生人口 、经济 、交通 、环 境等 等领域 [ 1] , 几 乎渗 透到了 每一个 领域和 学 科 , 发挥了实质性的作用 , 要求每个公民都能具备 一定的数学应用意识和能力 。 本文给出线性方程 组的分类及其在交通管理 、中国人口预测方面几 个案例应用 , 主要如下这几个方面 :(1)问题分析 与数学模型 , 结合实际 、生活中问题与例子 , 启发 人们用数学的的眼光看问题, 数学的思考问题; (2)程序和计算结果 , 利用 MATLAB计算平台 , 使 繁难的计算变得 “可视化 ”、简单化 、清晰化 , 计算 结果变得生动鲜活[ 2] ;(3)问题解答 , 依据数学理 论 , 对结果给出分析 , 得到规律 , 指导实际 。 问题
矩阵 A和方程组右端向量 b A=[ 1 -1 0 0;0 1 -1 0;0 0 1 -1;-1 0 0 1;] ,
b=[ -150;-150;150;150] 。
然后用命令 r1 =rank(A), r2 =rank([ Ab] ), 计算系数矩阵的秩 r1 和增广矩阵 [ Ab] 的秩 r2 , 得 r1 =3, r2 =3。这说明系数矩 阵和增广矩阵的 秩相等但小于 4。最后 , 用命令 rref([ Ab] )将增
0 1 0 0 0 0 -1 0
ans=0 0 1 0 0 1 00010 1
0 600 -1 0
0 0 0 0 1 0 -1 -200
00000 0 0 0
由此可确定对应的齐次方程组的基础解系以
及非齐次 方程组的通解 。 由于增广矩阵 的秩为
5, 而方程组含有 7个未知数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7, 故方程组的通解中含有 2个自由未知数 。 最
表 1 1999年 ～ 2008年我国人口数的统计数据
年 人口
19 99
20 00
20 01
2 002
2 003
2 00 4
200 5
200 6
20 07
12.403 8 12.424 9 12.513 6 12.629 1 12.991 6 12.999 4 13.075 6 13.123 9 13.212 9
当方程组中实 际的方程数少 于未知数 个数 时 , 这一类方程组称为欠定方程组 。当系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩时 , 不定方程组有无穷多 组解 。 根据线性代数的理论和方法 , 可求得方程 组的通解 。 当方程组中实际的方程数多于实际的 未知数个数时 , 这一类方程组称为超定方程组。
收稿日期 :2008 -12 -10;修订日期 :2009 -02 -26 作者简介 :黄 炜 (1961 -), 男 , 陕西岐山人 , 副教授 , 研究方向 :代数 。
第 2期
黄 炜 :数学建模在线性代数中应用案例
· 189·
超定方程组没有准确解 , 但可以求广义解 , 例如超 定方程组的最小二乘解 。
时下 , 在很多大城市不时听到人们的抱怨交 通拥挤 , 高峰期塞车, 这也是不少城市的头痛问 题 , 下面给出交通拥挤的数学解释
2 交通流量问题
设下面交通网络图 , 均为单向行驶 , 且不能停 车 , 通行方向用箭头表明 , 图中所示的数字为高峰 期每小时进出网络的车辆数 , 进入网络的车辆等 于离开网络的车辆 , 另进入每个节点的的车辆等 于离开节点的车辆 。
HUANGWei
(DepartmentofontheBasis, BaojiVocationalandTechnicalCollege, ShanxiBaoji721013 PRC)
Abstract:Inthispaper, linearequations, aswellastheclassificationofthetrafficflow, population projectionsandsoontheapplicationofmathematicsandworkstopromotethepracticalproblemsof integrationandunderstandingofthelawgivenbyMATLAB, confirmsthewidespreadapplicationof mathematics. Keywords:Mathematicalmodeling, Linearequations, Casestudies, MATLABsolution
BE与沿折线 DE, EF的车流量相等 ;(0 1 0 1 1 0 1)T表示沿折线闭合回路 ABEFA的每
段上的车流量相等 。 上述不等式可知 , 若每小时
通过 DC段的车辆超过 600 辆 , 或者每小时通过
FA段的车辆不到 200 辆 , 则方程组无整数解 , 会
导致交通拥挤 , 出现塞车现象 。
· 191·
图 3
4 中国人口预测问题
研究人口数学模型 , 可以用来预测将来人口 , 也可以控制人口数量改善人口年龄结构 。 1999年 ～ 2008年我国人口数的统计数据如表 1所示 (单 位 :亿 ), 试根据以上数据 , 建立我国人口 增长的 近似曲线 , 并预测 2015年 2020年的人口数量 。
在通解中找非负特解 。
3.2 程序和计算结果
在 MATLAB环境中 , 首先输入方程组的系数
矩阵 A和方程组右端向量 b A=[ 1 0 1 0 0 0 0;1 -1 0 1 0 0 0;0 1 0 0 -1