习题1616-1.如图所示,金属圆环半径为R ,位于磁感应强度为B 的均匀磁场中,圆环平面与磁场方向垂直。
当圆环以恒定速度v 在环所在平面内运动时,求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a 、b 间的电势差。
解:(1)由法拉第电磁感应定律i d dt εΦ=-,考虑到圆环内的磁通量不变,所以,环中的感应电动势0i ε=;(2)利用:()aab b v B dlε=⨯⋅⎰,有:22ab Bv R Bv Rε=⋅=。
【注:相同电动势的两个电源并联,并联后等效电源电动势不变】16-2.如图所示,长直导线中通有电流A I 0.5=,在与其相距cm 5.0=d 处放有一矩形线圈,共1000匝,设线圈长cm 0.4=l ,宽cm 0.2=a 。
不计线圈自感,若线圈以速度cm/s 0.3=v 沿垂直于长导线的方向向右 运动,线圈中的感生电动势多大?解法一:利用法拉第电磁感应定律解决。
首先用0l B dl I μ⋅=∑⎰求出电场分布,易得:02I B r μπ=, 则矩形线圈内的磁通量为:00ln 22x axI I l x a l dr r x μμππ++Φ=⋅=⎰,由i d Nd t εΦ=-,有:011()2i N I l d xx a x dt μεπ=--⋅+∴当x d =时,有:041.92102()i N I l a vVd a μεπ-==⨯+。
解法二:利用动生电动势公式解决。
由0l B dl Iμ⋅=∑⎰求出电场分布,易得:02I B r μπ=,考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势,近端部分:11NB l v ε=, 远端部分:22NB lvε=,则:12εεε=-=00411() 1.921022()N I N I a l v l v Vd d a d d a μμππ--==⨯++。
16-3.如图所示,长直导线中通有电流强度为I 的电流,长为l 的金属棒ab 与长直导线共面且垂直于导线放置,其a 端离导线为d ,并以速度v 平行于长直导线作匀速运动,求金属棒中的感应电动势ε并比较U a 、U b 的电势大小。
解法一:利用动生电动势公式解决:()d v B dl ε=⨯⋅02I v drr μπ=⋅,∴02d ldv I dr r μεπ+=-⎰0ln 2v I d ld μπ+=-,由右手定则判定:U a >U b 。
解法二:利用法拉第电磁感应定律解决。
作辅助线,形成闭合回路''abb a ,如图,SB d S Φ=⋅⎰02d ldI y dr r μπ+=⎰0ln 2I y d ld μπ+=, ∴d dt εΦ=-00ln ln22I Iv d l d y d l d dt d μμππ++=-⋅=-。
由右手定则判定:U a >U b 。
16-4.电流为I 的无限长直导线旁有一弧形导线,圆心角为120, 几何尺寸及位置如图所示。
求当圆弧形导线以速度v 平行于长直 导线方向运动时,弧形导线中的动生电动势。
解法一:(用等效法)连接AO 、OB ,圆弧形导线与AO 、OB 形成闭合回路,闭合回路的电动势为0,所以圆弧形导线电动势与AOB 直导线的电动势相等。
200()ln 222R AO R IvI v v B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰,500225()ln 224R OB RIv Iv v B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰,∴05ln22AB AO OBIv μεεεπ=+=-。
解法二:(直接讨论圆弧切割磁感应线)从圆心处引一条半径线,与水平负向夹角为θ,那么,00022(2cos )2(2cos )I I IB x R R R μμμππθπθ===--,再由()v B dl ε=⨯⋅⎰有: sin d B Rd v εθθ=⋅⋅,∴2030sin 2(2cos )I Rv d R πμεθθπθ=-⋅-⎰05ln22Iv μπ=-。
16-5.电阻为R 的闭合线圈折成半径分别为a 和a 2的两个圆,如图所示,将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内,磁感应强度按0sin B B t ω=的规律变化。
已知cm 10=a ,T 10220-⨯=B ,rad/s 50=ω,Ω=10R ,求线圈中感应电流的最大值。
解:由于是一条导线折成的两个圆,所以,两圆的绕向相反。
2220(4)3cos i d d Ba a a B t dt dt επππωωΦ=-=--⋅+=,∴203cos ia B t I R R επωω==AπR ωB a πI 32202max 1042.910501021.035--⨯=⨯⨯⨯⨯==。
drr'b 'a y AOBAOBθ16-6.直导线中通以交流电,如图所示, 置于磁导率为μ 的介质中, 已知:0sin I I t ω=,其中ω、0I 是大于零的常量,求:与其共面的 N 匝矩形回路中的感应电动势。
解:首先用lB dl I μ⋅=∑⎰求出电场分布,易得:02I B x μπ=,则矩形线圈内的磁通量为:0000ln sin ln 222d a dI I l I l d a d al dr t r d d μμμωπππ+++Φ=⋅==⎰,∴00cos ln2N I l d d aN t dt d μεωωπΦ+=-=-。
16-7.如图所示,半径为a 的长直螺线管中,有0d d >t B的磁场,一直导线弯成等腰梯形的闭合回路ABCDA ,总电阻为R ,上底为a ,下底为a 2,求:(1)AD 段、BC 段和闭合回路中的感应电动势;(2)B 、C 两点间的电势差C B U U -。
解:(1)首先考虑OAD ∆,2133224OAD S a a a ∆=⋅=,∴234OAD d dB dBS a d t d t d t ε∆Φ=-=-⋅=-⋅感1,而DAlAOODADDAE d l E d l E d l E d l E d l εε=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰涡涡涡涡涡感1∴234AD d B a d t ε=⋅;再考虑OBC ∆,有效面积为2123OADS a π=⋅扇,∴26dB a d t πε=-⋅感2, 同理可得:26BC dB a d t πε=⋅;那么,梯形闭合回路的感应电动势为:23()64BC AD dBa d t πεεε=-=-⋅,逆时针方向。
(2)由图可知,AB CD a ==,所以,梯形各边每段a 上有电阻5R r =, 回路中的电流:23()64a d BI R R d t επ==-⋅,逆时针方向; 那么,2232()510B C BC BC dBU U I r I R a dt πεε+-=⋅-=⋅-=-⋅。
16-8.圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体,半径为R ,高为h ,电阻率为ρ,如图所示。
若匀强磁场以d Bk dt =(0k k >,为恒量)的规律变化,求圆柱体内涡电流的热功率。
解:在圆柱体内任取一个半径为r ,厚度为dr ,高为h 的小圆柱通壁, 有:2ld B E dl r dt π⋅=⋅⎰涡,即:22d B r k r dt εππ=⋅=涡,由电阻公式lR S ρ=,考虑涡流通过一个d r 环带,如图, 有电阻:2r R h d r πρ=, 而热功率:22223()22k r k h d P i R r drr hdr πππρρ===,∴2243028R k h k h R P r d r ππρρ==⎰。
16-9.一螺绕环,每厘米绕40匝,铁心截面积2cm 0.3,磁导率0200μμ=,绕组中通有电流mA 0.5,环上绕有二匝次级线圈,求:(1)两绕组间的互感系数;(2)若初级绕组中的电流在s 10.0内由A 0.5降低到0,次级绕组中的互感电动势。
解:已知4040000.01n ==初匝,2N =次,50200810μμπ-==⨯,42310S m -=⨯。
(1)由题意知螺绕环内:B nI μ=,则通过次级线圈的磁链:N BS N n I S ψμ==次次次,∴54428104000310 6.0310M N nS HI ψμπ---===⨯⨯⨯⨯⨯=⨯次初;(2)42506.0310 3.02100.1I M Vt ε--∆-==⨯⨯=⨯∆初次。
16-10.磁感应强度为B 的均匀磁场充满一半径为R 的圆形空间B ,一金属杆放在如图14-47所示中位置,杆长为2R ,其中一半位于磁场内,另一半位于磁场外。
当0d Bdt >时,求:杆两端感应电动势的大小和方向。
解:∵ac ab bc εεε=+,而:Oabab d dt εΦ=-扇形,∴a bε=2233[]d R d BR B dt -=,Obcbc d dtε∆Φ=-=22[]1212d R R d B B dt dt ππ--=,∴a c ε=223[]412R R d Bdt π+;∵0d Bdt >,∴0a c ε>,即ac ε从a c →。
16-11.一截面为长方形的螺绕环,其尺寸如图所示,共有N 匝,求此螺绕环的自感。
解:如果给螺绕环通电流,有环内磁感应强度:012()2N I B R r R rμπ=<<则SB d SΦ=⋅⎰⎰,有:210201ln 22R R N I h R N Ih dr r R μμππΦ=⋅⋅=⎰利用自感定义式:L I ψ=,有:L =2021ln 2N h R R μπ。
16-12.一圆形线圈A 由50匝细导线绕成,其面积为4cm 2,放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm 的圆形线圈B 的中心,两线圈同轴。
设线圈B 中的电流在线圈A 所在处激发的磁场可看作匀强磁场。
求: (1)两线圈的互感;(2)当线圈B 中的电流以50A/s 的变化率减小时,线圈A 中的感生电动势的大小。
解:设B 中通有电流I ,则在A 处产生的磁感应强度为:002242B B B B B N I N IB R R R μμππ=⋅=(1)A 中的磁通链为:02A B A A A ABN N IN BS S R μψ==⋅。
则:2AABBN N S M I R μψ==,∴7476410501004102010 6.281020.2M Hππ----⨯⋅⋅⋅⨯==⨯=⨯⋅。
(2)∵0646.281050 3.14102A B A A B N N S d d IV d t R dt μψ--=⋅=⨯⋅=⨯,∴43.1410A V ε-=⨯。
16-13.如图,半径分别为b 和a 的两圆形线圈(b >>a ),在0=t 时共面放置,大圆形线圈通有稳恒电流I ,小圆形线圈以角速度ω绕竖直轴转动,若小圆形线圈的电阻为R ,求:(1)当小线圈转过90时,小线圈所受的磁力矩的大小;(2)从初始时刻转到该位置的过程中,磁力矩所做功的大小。