C表示第一年现金流，g表示每年固定增长率，r为收益 率或贴现率。
例1
某基金会拟一项新的教育计划，打算为某山区小学提供 20年的教育补助，每年年底支付，第一年为10万元，并 在往后每年增长5%，贴现率为10%，那么这项教育补助计 划的现值为多少？
（四）期初年金终值的计算
期初年金终值等于期末年金终值的（1+r）倍，即
FVBEG=FVBEG(1+r）公式为：
FVBEG C[(1 r )t 1] (1 r ) r
（四）期初年金终值的计算
图示
0 1 2 3 4 5 预付年金 = 普通年金 ×(1+i)
(1 i)1
(1 i) 2 (1 i)3 (1 i ) 4 (1 i )5
第二节 规则现金流的计算
主要内容：
������
期末年金与期初年金 永续年金 增长型年金
复习
假定年利率为20％，每半年计利息一次，则有效年利率 为（ ）。 A、10％ B、20％ C、21％ D、40％
年金的概念（PMT）
普通年金是指在一定期限内，时间间隔相同、不 间断、金额相等、方向相同的一系列现金流。 比如，退休后每个月固定从社保部门领取的养老 金、定期定额缴纳的房屋贷款月供、每个月进行定期 定额购买基金的月投资额款、向租房者每月固定收取 的租金等都是年金。
D、期初年金终值等于期末年金现值
答案：B
课堂练习
5、张女士每年年初在银行存入10000元，作为儿子 上大学的教育储备金，年利率为7%，则5年后张女士 得到的本利和为（ A、57510 ）元。 B、61535.7
C、71530
答案：B
D、67510
课堂练习
6、小王大学毕业后，需要自己租赁一处房屋，每年 年末需要支付房租10000元，年利率为8%，附小王5年 所付租金的现值为（ ）元。 A、43124.4 B、39931
C [ (1 1 0 % ) 4 4 1 ] 1000000 10%
求得：C= 1532.24元 成为一个百万人士并不难，只要持之以恒每年存款1500元 左右，持续44年。
期末年金终值例题5
曹先生8年后退休，他打算为退休后准备一笔旅游基金。 理财经理为他推荐一款固定收益率为7%的基金产品， 曹先生决定每年存入5000元，那么他退休后能获得多 少旅游基金？
，红利收入，房贷本息支付…
期末年金与期初年金并无实质性的差别，只是收付款 时间不同。
一、期末年金与期初年金
A A A A…..
2 3 4 5 0 1
期末年金：收付在期末
期初年金：收付在期初
A A A
0 1 2
A …..
3 4 5
（一）期末年金现值的计算
期末年金现值公式为：
PV

C 1 [1 ] t r (1 r )
其中，该贷款总额为5000元，年利率为9%，五年还请。
（三）期初年金现值的计算
期初年金现值等于期末年金现值的（1+r）倍，即
PVBEG=pvBEG(1+r）公式为：
PVBEG C 1 [1 ](1 r ) t r (1 r )
期初年金现值例题1
租入设备，每年年初付租金10000元，共5年，利率8%， 租金的现值？（1.47）
1 PV 5 10000 500000 10%
例3
某项永久性奖学金，每年颁发5万元，年利率为8%， 则该项奖学金的本金是（ ）元。 A、455000 B、560000 C、625000 D、780000
例4
小李购买理财产品，第一年的收益为1000元，并以 4%的速度增长下去，年利率为5%，则该理财产品 的现值是（ ）元。 A、4000 B、5000 C、100000 D、15000
综合题
首先应算出陆先生每月应还多少款。 贷款总额=300*70%=210万元； 还款期数20（年）*12（月）=240（期） 每月还款额为：（期末年金现值）
C 1 210 [1 ] 20 8% / 12 (1 8% / 12) 每期还款额C =1.76万元
综合题
接下来再计算理财产品给陆先生每月带来的收益： 投入本金40万元，月利率为6%/12=0.5%，每月收益为 40*0.5%=0.2万元，因此陆先生每月还需拿出176002000=15600元来偿还贷款。
课堂练习
1、下列关于年金的说法中，错误的是（ ）。 A、年金是一组在某个特定的时间段内金额相等，方向相 同，时间间隔相同的现金流 B、年金的利息不具有时间价值
C、年金终值和现值的计算通常采用复利的形式
D、年金可以分为期初年金和期末年金 答案：B
课堂练习
2、嘉江集团从2015年起每年年末存入银行一笔固定 金额的款项，若想求出第10年末能从银行取出的金额， 则应选取的时间价值系数是（ ）。 A、复利终值系数 B、普通年金终值系数
（二）期末年金终值的计算
期末年金终值公式为：
F V

C [ (1 r ) r
t
1]
（二）期末年金终值的计算
0
1
2
3
4
5
0 A (1 i )
1 (1 i ) A 2 (1 i ) A 3 (1 i ) A
4 A (1 i ) n 1 A (1 i)
通项
（二）期末年金终值的计算
一、期末年金与期初年金
主要内容： 期末年金现值和终值计算 ������ 期初年金的计算
一、期末年金与期初年金
根据等值现金流发生的时间点不同，年金可以分为期初年
金和期末年金。
一、期末年金与期初年金
期初年金是指一定时期内每期期初发生系列相等的收
付款项，即现金流发生在当期期初 比如说房租，养老金支出，生活费，教育金支出，保 险… 期末年金即现金流发生在当期期末，比如说利息收入
（一）期末年金现值的计算
一定时期内每期期末收付款项的复利现值之和
0
C (1 i ) 1
1
2
3
4
5
FV (1 i ) 2 FV (1 i ) 3
4 FV (1 i）
FV (1 i ) 5
通项
FV (1 i ) n
P V A (1 r ) 1 A (1 r ) 2 ..... A (1 r ) t
A t [(1 r ) 1] r
期末年金终值例题3
你5年内每年末向银行借款10000元，借款利率7%，5年末 应付本息和为多少？
10000[(1 7%)5 1] FV 7%
=57507
期末年金终值例4
例5：一个21岁的年轻人今天投资15091元（10％的年复利 率），可以在65岁时（44年后）获得100万元。假如你现 在一次拿不出15091元，而想在今后44年中每年投资一笔 等额款，直至65岁。这笔等额款为多少？
其中，该贷款总额为5000元，年利率为9%，五年还请。
例6：房贷还款—等额本金
年度 初始借款 年总支付 1 5000 1450 2 4000 1360 3 3000 1270 4 2000 1180 5 1000 1090 总计 6350 年利息 450.00 360 270 180 90 1350 年本金 1000 1000 1000 1000 1000 5000 年末余额 4000 3000 2000 1000 0
C、33120
答案：B
D、31170
二、永续年金
永续年金是指在无限期内，时间间隔相同、不间断、金额
相等、方向相同的一系列现金流。
比如优先股，有固定的股利而无到期日； 比如未规定偿还期限的债券，其利息也可视为永续年金
举例：各类奖金的设立和发放
存入一笔基金作为科学奖每年发放一次 用基金每年产生的利息来发放奖金 才会有永不枯竭的年金发放 诺贝尔奖金的发放
二、永续年金
C C C PV ...... 2 3 1 r (1 r ) (1 r )
永续年金的现值公式
C PV r
例1
陈先生近日购买股票，每股股票每年末支付股利1元，若 年利率为5%，那么它的价格是多少？
C PV 1 / 5% 20元 r
例2
一项永久性的奖学金，每年计划颁发5名10000元的奖金。 若年利率为10％，现在应该存入多少钱？
(1 i )0 (1 i)1 (1 i) 2 (1 i)3 (1 i ) 4
期初年金终值例题1
接上一实例，这笔年金20年后终值为多少？
10000[(1 5%) 1] FVBEG (1 5%) 5% 347193(元）
20
综合题
陆先生打算卖掉老家价值130万元的房子，购置 一套市中心价值300万元的大房子，首付30%，其余部 分银行按揭8%的年利率贷款20年，按月计息。利用金 融杠杆，陆先生将卖房余下的40万元投入某年化收益 率为6%的银行理财产品（按月计息单利），并可以每 月月末从中获取等额收益，持续20年。那么除了每月 的理财收益，陆先生每月还应准备多少钱偿还贷款？
FV
5 0 0 0 [ (1 7 % ) 8 1 ] 7%
=51299
例6：房贷还款—等额本息
年度 初始借款 年总支付 1 5000 1285.46 2 4164.54 1285.46 3 3253.88 1285.46 4 2261.27 1285.46 5 1179.32 1285.46 总计 6427.30 年利息 450.00 374.81 292.85 203.51 106.14 1427.31 年本金 年末余额 835.46 4164.54 910.65 3253.88 992.61 2261.27 1081.95 1179.32 1179.32 0 5000