x ln cx o ssx i n C
说明: 此技巧适用于形为 acoxsbsin xdx的积分. ccoxsdsin x
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例 解1：2因. 求 为I1aco sx isx b n sixn dIx2 及 aco cx sox bssixndx. a acco oxxss b bssiin n xxdx b acco oxxss a bssiin n xxdx
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3. 分部积分法
uvdxuvuvdx
使用原则:
1) v 易求出
由 2) uvvdx;比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三”
的顺序, 排前者取为 u ,排后者取为 v .
计算格式: 列表计 算
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多次分部积分的 规 律
senc2x
(n 2 )se n 3 x c se xtc axn senc2xtaxn ( n 2 )sn e 2 x c (s 2 x e 1 )d x c
sen c2xtaxn(n2)In(n2)In2
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例8. 求
解:
设
x1, F(x)x1
x1
u u u
u (n) u(n1)
(1)n (1)n1
v(n1k) v(n1) v (n) v(n1) v
v
特别: 当 u 为 n 次多项式时u(,n1) 0,计算大为简便 .
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例1. 求
解: 原式
2x3x 32x 22x
dx
1 ((3232))x2dxadxx axlnadx
习题课
第四章
不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方 法
二、几种特殊类型的积分
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .
2. 换元积分法
第一类换元法
第二类换元法 (代换: x(t))
(注意常见的换元积分类型)
而 dxt(2t(2t21)32)dt
原式 t t2
3
1
1
t
3t 2
t(2t(2t
2
3) 1) 2
dt
1
1 2ln(xy)21C
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例5. 求
解: 原式 arctexaden x
exarcetxa nex
1
ex e2x
dx
exarcetxan(11e2xe)2xe2xdx
exarcetxan x1 2ln(1e2x)C
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例6. 求
解:
取
x3x2 3x2 1 6x
60
e 2x
1 2
e
2x
1 4
e
2
x
1 8
e
2
x
1 16
e
2x
原 式 e2x12(x3x2)
14(3x21)
1 8
6x116
6C
8 1 e 2 x (4 x 3 6 x 2 2 x 7 ) C
说明: 此法特别适用于 如下类型的积分:
Pn
(x)sienkax x
dx
cosax
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例7. 设
证明递推公式:
I n n 1 1 sn e 2 x t ca x n n n 1 2 I n 2( n 2 )
证: In sen c2xsec2 xdx
1x, x1
则
1 2x2xC 1, x1
x1 2x2C 2, x1
因 连 利用
得
续
,
1 2C 11 2C2
记作
C
得
1 21C11 121 2 1 (2 1 2 1 2xx (x x 2 2 1C )12 x 2x )2 1 C 2 1 2 C ,C ,C ,, x x 1 1
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例9. 设 为 的原函数,且
求
解: 由题设 F (x)f(x),则
故
即 又
, 因此
故
机动
1. 一般积分方 法
有理函数
分解
指数代换 万能代换 根式代换
多项式及 部分分式之和
指数函数有理式
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
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uv(n1)dxuv(n)uv(n)dx uv(n)uv(n1) uv(n1)dx u v (n ) u v (n 1 ) u v (n 2 ) uv(n2)dx
u v (n ) u v (n 1 ) u v (n 2 ) (1)n 1u(n 1)vdx
快速计算表格:
u(k)
1
ln
2 3
d(32)x 1 (32)2x
arctan32)(x C ln2ln3
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例2. 求
解:
原式 [ln x (1x2)5]1 2d[lnx (1x2)5]
2 lnx ( 1x2)523 C
3
分析:
d[lnx (1x2)5]
(1
2
12xx2)dx
x 1 x2
x
x
x.
1e2 e3 e6
x
解: 令t e 6 , 则 x6lnt, dx 6t dt
原式
6
(1t3dtt2t)t6
dt (t1)(t21)t
d t
6lnt 3lnt13ln(t2 1)3arc t tC an 2
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例11. 求
解: 令3 co x ssixn A (x c s o x ) i B n ( sx c s o x ) i n s
dx 1 x2
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例3. 求
解:
x 2sin x cos x
原式
2 2cos2 x
2 dx
2
xdtanx 2
tanx dx 2
xtanx C 2
分部积分
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例4. 设
求积分
解:
令 xyt,即 yxt
x
t
t3 2
, 1
y
t
2
t, 1
2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方 要注意综合 法 使, 用各种基本积分法, 简便计算 . (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 因, 此不一
定都能积出. 例如 ,
1 k 2 s2 ix d n x(0 k 1 ),
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例10. 求
dx
令 aco x ( sA bs B ix ) n cx o ( A s B ) sx in 比较同类 项A 系( c 数c x A d o B s x 3 ) i s ,B ( 故c n A c 1 x , B d o s 2x ) i sn
A B 1
∴ 原式dx2dc(o x c x so ssiisxx n n )