常见不定积分的求解方法的讨论马征指导老师：封新学摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。

关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。

The discussion of common indefinite integral methodof calculatingMa ZhengAbstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly.Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.0引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。

不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如⎰-x k dx 22sin 1（其中10<<k ）；dx x x ⎰sin ；dx e x ⎰-2；dx x ⎰ln 1等。

这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。

同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。

1 不定积分的概念定义：在某区间I 上的函数)(x f ，若存在原函数，则称)(x f 为可积函数，并将)(x f 的全体原函数记为⎰dx x f )(,称它是函数)(x f 在区间I 内的不定积分，其中⎰为积分符号，)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量。

若)(x F 为)(x f 的原函数，则：⎰dx x f )(=)(x F +C(C 为积分常数)。

在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：dx d (⎰dx x f )() 和 ⎰'dx x f )(是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。

性质：1.微分运算与积分运算时互逆的。

注：积分和微分连在一起运算时：⎰d ——————>完全抵消。

⎰d ——————>抵消后差一常数。

2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：⎰±dx x g x f )]()([=⎰dx x f )(±⎰dx x g )(。

3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：⎰dx x kf )(=k ⎰dx x f )((k ≠0)。

在这里，给出两个重要定理：(1)导数为0的函数是常函数。

(2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。

以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。

上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。

2 直接积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法)。

下面先给出基本求导公式：(1) k kx =)'( (2) x x1)'(-=μμμ (3) xx 1)'(ln = (4) x x 211)'(arctan += (5) x x 211)'(arcsin -= (6) ax x a ln 1)'(log = (7) e ex x =)'( (8) x x cos )'(sin = (9) x x sin )'(cos -= (10)x x sec )'(tan 2=(11) x x csc )'(cot 2-=。

根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表：(1))(是常数k C kx kdx +=⎰ (2))1(11-≠++=+⎰μμμμC x dx x (3) C x xdx +=⎰ln (4) C x dx x +=+⎰arctan 112 (5)C x dx x +=-arcsin 112 (6) C a a dx a x x +=⎰ln (7) C e dx e x x +=⎰ (8) C x xdx +=⎰sin cos(9) C x xdx +-=⎰cos sin (10) C x xdx +=⎰tan sec 2(11) C x xdx +-=⎰cot csc 2 。

下面举例子加以说明：例2.1： 求⎰+-dx x x )143(2解 原式= ⎰⎰⎰+-dx xdx dx x 432= ⎰⎰⎰+-dx xdx dx x 432 = )()2(4)3(332213C x C x C x +++-+ =C x x x ++-232 注意：这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数。

所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。

例2.2： 求dx x x ⎰+122解 原式=dx x x ⎰+-+11)1(22=⎰⎰+-12xdx dx =C x x +-arctan注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1减1”法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体讲解。

直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。

3 第一类换元法(凑微法)利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如xdx x cos sin 2⎰就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。

如果不定积分⎰dx x f )(用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为)()]([)(x x g x f ϕϕ'=， 作变量代换)(x u ϕ=，并注意到)()(x d dx x ϕϕ='，则可将关于变量x 的积分转化为关于u 的积分，于是有⎰⎰⎰='=.)()()]([)(du u g dx x x g dx x f ϕϕ如果⎰du u g )(可以求出，不定积分⎰dx x f )(的计算问题就解决了，这就是第一类换元法(凑微分法)。

注：上述公式中，第一个等号表示换元u x =)(ϕ，最后一个等号表示回代)(x u ϕ=.下面具体举例题加以讨论例3.1：求⎰+dx x )12(10. 解 原式=⎰'++dx x x )12()12(2110 =)12()12(2110++⎰x d x u x =+12 ⎰+⋅=C du u u 1121211110 12+=x u C x ++)12(22111 对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程。

例3.2：求)(25812x d x x ⎰+-. 解 原式)(9)4(12x d x ⎰+-=)(1)34(13122x d x ⎰+-= )34(1)34x (1312-+-=⎰x d C x +-=34arctan 31 例3.3：求⎰-x dx 21解 )1111(21)1)(1(1112xx x x x -++=+-=- ∴]1)1(1)1([21112⎰⎰⎰---++=-xx d x x d x C x x +--+=]1ln 1[ln 21 C xx +-+=11ln 21 在这里做一个小结，当遇到形如：⎰++c bx x a dx 2的不定积分，可分为以下3中情况：=∆c bx x a ++2的：①∆大于0时。

可将原式化为))((21x x x x --，其中，x 1、x 2为02=++c bx x a 的两个解，则原不定积分为：⎰--))((21x x x x dx ])()()()([)(1221112⎰⎰------=x x x x d x x x x d x xC x x x x x x +---=2112ln )(1 ②∆等于0时。

可利用完全平方公式，然后可化成⎰---)()(2k x d k x 。

然后根据基本微分公式(2)便可求解。

③∆小于0时。

形如例4，可先给分母进行配方。

然后可根据基本积分公式(4)便可求解。

例3.4： 求⎰xdx sec 解 原式⎰⎰⎰-===x x d x xdx x dx sin1sin cos cos cos 22 ⎰-+=)sin 1)(sin 1(sin x x x d])sin 1(sin )sin 1(sin [21⎰⎰-++=x x d x x dC x x +-+=sin 1sin 1ln 21该题也可利用三角函数之间的关系求解：原式dx xx x x x ⎰++=tan sec tan sec sec 2 )tan (sec tan sec 1x x d xx ++=⎰ C x x ++=tan sec ln .虽然两种解法的结果不同，但经验证均为x sec 的原函数，这也就体现了不定积分的解法以及结果的不唯一性。

例3.5：求xdx ⎰cos 2. 解 xdx ⎰cos 2)2cos (2122cos 1⎰⎰⎰+=+=xdx dx dx x ⎰⎰+=)2(2cos 4121x xd dx C x x ++=42sin 2 例3.6：求⎰xdx sec 6.解 ⎰xdx sec 6⎰=xdx x sec )sec 2(22⎰+=)(tan )tan 21(2x d x ⎰++=)(tan )tan tan 21(42x d x x C x x x +++=tan 51tan 32tan 53 注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。