函数与方程考纲解读 1.求常见函数的零点；2.判断基本初等函数零点所在区间；3.判断二次函数零点个数及分布；4.根据函数零点与方程根的关系求参数范围；5.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．[基础梳理]1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫作函数y ＝f (x )的零点． (2)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x 0)，(x 0)(x 0) 无交点 1．函数f (x )＝lg x ＋x －3的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：B2．函数f (x )＝e x －1＋4x －4的零点所在区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)答案：B3．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞) 答案：B4．用二分法求f (x )＝2x ＋3x －7的零点的近似解，若第一次零点区间为(1,2)，则第二次的零点区间为________．答案：(1,1.5)5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1x 的零点为__________．答案：－1[考点例题]考点一 判定函数零点区间|方法突破[例1] (1)函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)[解析] f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1＜x ＜2时，ln(x －1)＜0，2x ＞0，所以f (x )＞0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln 1＝1，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83.∵8＝22≈2.828＞e ，∴8＞e 2，即ln 8＞2，即f (3)＜0.又f (4)＝12－ln 3＜0，∴f (x )在(2，3)内存在一个零点．[答案] B(2)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1x的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c[解析] 在同一坐标系下分别画出函数y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝－1x的图象，如图，观察它们与y ＝－x 的交点可知a <b <c .[答案] A判断函数零点所在区间的方法法 断对应函数值的正负； 图象法画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象[方法提升][跟踪训练]1．设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：f (x )＝e x ＋x －4单调递增，仅有一个零点，又f (1)＝e －3＜0，f (2)＝e 2－2＞0， 故函数f (x )的零点位于区间(1,2)．故选C. 答案：C2．(2018·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析： 在同一个坐标系中，分别作出y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象如图，y ＝1x 过点P (1,1)，当x ＝1时，ln 2＜1，y ＝1x 过点⎝⎛⎭⎫2，12，当x ＝2时，ln 3＞1.设y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的交点为Q (x Q ，y Q )，则1＜x Q＜2.答案：B考点二 函数的零点个数|方法突破[例2] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x | x ≤2(x －2)2 x >2的零点个数为__________．[解析] (1)(直接法)由f [f (x )]＋1＝0得f [f (x )]＝－1，由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1得f (x )＝－2或f (x )＝12. 若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f [f (x )]＋1的零点的个数是4，故选A.(2)(转化法)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ＝0的零点个数为⎝⎛⎭⎫12x ＝cos x 的根的个数，即函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与g (x )＝cos x 的图象的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.(3)(图象法)作函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x | (x ≤2)(x －2)2 (x >2)的图象如图所示，可以看出图象与x 轴有且只有2个交点．故函数零点个数为2. [答案] (1)A (2)C (3)2 [方法提升]函数零点个数的判断方法方法 解读适合题型 直接法 令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点基本初等函数图象法画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数 分段函数、绝对值函数转化法将函数f (x )拆成两个常见函数h (x )和g (x )的差，从而f (x )＝0⇔h (x )－g (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图象的交点个数复杂函数[母题变式]1．将本例(1)改为已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0.下列是关于函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数的四个判断：①当k >0时，有3个零点；②当k <0时，有2个零点；③当k >0时，有4个零点；④当k <0时，有1个零点．则正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④解析： (图象法)令f [f (x )]＋1＝0，得f [f (x )]＝－1.当k >0时，在平面直角坐标系下画出函数f (x )的大致图象及直线y ＝－1，注意到直线y ＝－1与函数f (x )的图象有2个交点，设其横坐标分别是t 1，t 2，则t 1<0,0<t 2<1；再画出直线y ＝t 1与y ＝t 2，结合图象可知，直线y ＝t 1与函数f (x )的图象有2个不同的交点，直线y ＝t 2与函数f (x )的图象有2个不同的交点，因此此时函数y ＝f [f (x )]＋1有4个零点．同理，当k <0时，函数y ＝f [f (x )]＋1有1个零点，结合各选项知，选D.答案：D2．将本例(1)改为求f (x )的零点个数． 解析：函数f (x )的图象如图所示，由图象知，函数f (x )有2个零点．3．将本例(2)改为求函数f (x )＝2x －cos x 在(－π，0) 上的零点个数． 解析：令y 1＝2x ，y 2＝cos x . 如图所示：x ∈(－π，0)，两个图象只有一个交点， 即函数f (x )只有一个零点．考点三 函数零点的应用|模型突破角度1 已知函数零点或方程根的个数求参数[例3] (2018·宁德模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋3，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x <0，若方程f (f (x ))－2＝0恰有三个实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[1,3] C.⎝⎛⎦⎤－1，－13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 [解析] ∵f (f (x ))－2＝0，∴f (f (x ))＝2， ∴f (x )＝－1或f (x )＝－1k(k ≠0)．(1)当k ＝0时，作出f (x )的函数图象如图所示：由图象可知f (x )＝－1无解，∴k ＝0不符合题意； (2)当k >0时，作出f (x )的函数图象如图所示：由图象可知f (x )＝－1无解且f (x )＝－1k 无解，即f (f (x ))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k <0时，作出f (x )的函数图象如图所示：由图象可知f (x )＝－1有1个实根， ∵f (f (x ))－2＝0有3个实根， ∴f (x )＝－1k 有2个实根，∴1<－1k ≤3，解得－1<k ≤－13.综上，k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，－13.故选C. [答案] C [模型解法]角度2 已知函数在某区间上有零点求参数[例4] (1)(2018·安庆模拟)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 (2)(2018·南阳模拟)设函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，g (x )＝log 2(2x －1)，若关于x 的函数F (x )＝g (x )－f (x )－m 在[1,2]上有零点，求m 的取值范围．[解析] (1)由x 2－ax ＋1＝0得a ＝x ＋1x ，其中x ∈⎝⎛⎭⎫12，3. ∵函数y ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，1上为减函数，在(1,3)为增函数， ∴y min ＝2，y max ＝103. ∴a ∈⎣⎡⎭⎫2，103. (2)令F (x )＝0， 即g (x )－f (x )－m ＝0. 所以m ＝g (x )－f (x ) ＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1. 因为1≤x ≤2，所以3≤2x ＋1≤5.所以25≤22x ＋1≤23，13≤1－22x ＋1≤35.所以log 213≤log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1≤log 235，即log 213≤m ≤log 235.所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤log 213，log 235. [答案] (1)D[模型解法][高考类题]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13 C.12D ．1解析：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.答案：C2．(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：①当0<m ≤1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(mx －1)2与y ＝x ＋m 的图象，如图．易知此时两函数图象在x ∈[0,1]上有且只有一个交点；②当m >1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(mx －1)2与y ＝x ＋m 的图象，如图．要满足题意，则(m －1)2≥1＋m ，解得m ≥3或m ≤0(舍去)，∴m ≥3. 综上，正实数m 的取值范围为(0,1]∪[3，＋∞)． 答案：B[真题感悟]1.[考点二](2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1解析：y ＝cos x 是偶函数，且存在零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 既不是奇函数又不是偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数，但不存在零点．故选A.答案：A2.[考点一](2014·高考北京卷)已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)，故选C.答案：C3.[考点三](2014·高考山东卷)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析： 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.答案：B4.[考点三](2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭⎫74，2解析：函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <02，0≤x ≤2x 2－5x ＋8，x >2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74<b <2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫74，2.答案：D5.[考点二](2015·高考湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为__________．解析： 因为f (x )＝4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2(1＋cosx)·sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y ＝|ln(x＋1)|图象的交点的个数．函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．答案：2。