第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1
x ＜a 等价于( )
A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1a
B ．－1a ＜x ＜1b
C ．x ＜－1a 或x ＞1b
D ．x ＜－1b 或x ＞1
a
解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1
a ；
(2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1
b
.
综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1
a .
答案：D
2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0
C ．2b ＜2a ＜2
D ．a 2＜ab ＜1
答案：C
3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y 的取值范围是()
A．[－7，26] B．[－1，20]
C．[4，15] D．[1，15]
答案：B
4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是()
A．a3＜b3B．a2＜b2
C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2
解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.
答案：A
5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利()
A．x＞a B．x＜a
C．x≥a D．0≤x≤a
解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A.
答案：A
二、填空题
6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是
________． 答案：②④
7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π
3，则α－β的取值范围是
________．
答案：(－5
6
π，0)
8．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下________．
答案：y ＜－y ＜x 三、解答题
9．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，判断b a －c 与a
b －d 的大小．
解：因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，
所以－c ＞－d ＞0，所以a －c ＞b －d ＞0， 所以0＜1a －c ＜1
b －d
，
又因为a ＞b ＞0，所以b a －c ＜a
b －d
.
10．已知0＜x ＜1，0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和 |log a (1＋x )|的大小．
解：法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝
[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x )2
log a 1－x 1＋x
.
因为0＜1－x 2
＜1，0＜1－x
1＋x
＜1，
所以log a (1－x 2
)log a 1－x
1＋x
＞0.
所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.
法二：⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
log a （1－x ）log a （1＋x ）＝|log 1＋x (1－x )|＝ －log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 1
1－x ＝
log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2
)． 因为0＜1－x 2＜1，1＋x ＞1， 所以log 1＋x (1－x 2)＜0. 所以1－log 1＋x (1－x 2)＞1. 所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 法三：因为0＜x ＜1，
所以0＜1－x ＜1，1＜1＋x ＜2， 所以log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0. 所以|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝ log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1， 所以log a (1－x 2)＞0.
所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.
B 级 能力提升
1．对下列不等式的推论中： ①a ＞b ⇒c －a ＞c －b ； ②a ＞b ＋c ⇒(a －c )2＞b 2； ③a ＞b ⇒ac ＞bc ；
④a ＞b ＞c ＞0⇒(a －c )b ＞(b －c )b ；
⑤a ＞b ，1a ＞1
b ⇒a ＞0，b ＜0.
其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：A
2．若－2＜c ＜－1＜a ＜b ＜1，则(c －a )(a －b )的取值范围为________．
答案：(0，6)
3．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2；3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围．
解：由题意设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋c ，f （2）＝4a ＋c ，
所以⎩⎨⎧
a ＝f （2）－f （1）
3
，
c ＝4f （1）－f （2）3
，
而f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f （1）－f （2）
3＝
8f （2）－5f （1）
3，
因为1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4， 所以5≤5f (1)≤10，24≤8f (2)≤32， 所以－10≤－5f (1)≤－5， 所以14≤8f (2)－5f (1)≤27， 所以143≤8f （2）－5f （1）3≤9，
即14
3≤f (3)≤9.。