麦克劳林公式
f ( 0 ) f ( 0 ) x
x
2
f
(0)
x
n
n!
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三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x
f ( 0 ) 2!
x
2
f
(n)
(0)
x
n
误差 R n ( x )
M ( n 1) !
n!
x
n 1
M为 f
( n 1)
( x ) 在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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1 n! (n) p n ( x0 )
1 2!
p n ( x0 )
1 2!
f ( x 0 ) , , a n

பைடு நூலகம்1 n!
f
(n)
( x0 )
故 p n ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )

1 n!
2 f ( x 0 )( x x 0 ) n
k
( k 1 , 2 , )
ln( 1 x ) x
x
2

n
x
3
( 1)
n 1
x
n
2
3
n
x
n 1
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
( 1)
n 1 (1 x ) n 1
f ( 0 ) 2!
( 0 1)
(n)
( 0 1)
f ( 0 ) 2!
x
2
f
(n)
(0)
x
n
n!
( 0 1)
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f
(k )
(k )
( x ) sin( x k
π 2
)
f
k 2m 0, ( m 1 , 2 , ) ( 0 ) sin k 2 ( 1) m 1 , k 2 m 1
f ( x ) f ( x 0 ) f ( )( x x 0 )
( 在 x 0 与 x 之间 )
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
f ( ) 2!
( x x0 )
2
可见
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
由此得近似公式
n f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x x x 2 2 ! f ( x 0 ) ( x x n) ! ( x 0 )( x x 0 ) f ( x ) f ( x0 ) f 0 ( n 1 ) ( x ) 2 ! , 则有误差估计式 M 若在公式成立的区间上 f (n) ( n 1 ) f ( x0 ) f ( ) n n 1 ( x x0 ) M n 1 ( x x 0 ) n ! Rn ( x) ( n x1) ! ( 在 x 0 与 x 之间 ) ( n 1) !
( 在 x 0 与 x 之间 )
误差
( 在 x 0 与 x 之间 )
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d f
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在泰勒公式中若取 x 0 0 , 记 x ( 0 1) , 则有
f ( 0 ) f ( 0 ) x
f ( 0 ) 2!
x
2
f
(n)
(0)
x
n
a1 2 a 2 ( x x 0 ) n a n ( x x 0 )
n 1 n2
2 ! a 2 n ( n 1) a n ( x x 0 ) n !a n
a0 p n ( x0 ) f ( x0 ) ,
a2
1 2!
a1 p n ( x 0 ) f ( x 0 ) ,
R n (1)
3 ( n 1) !
10
6
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e 11
1 2!

1 9!
2 .7 1 8 2 8 2
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例 e 1 1
1 2! 1 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 7 0 . 5 10
Rn
( n 1 )
( 2 在 x 0 与
n 1
( n 1)( 1 x 0 ) 0
(n) Rn (
(n)
1 之间 )


n ) Rn ( x0 )
( n 1 ) 2 ( n x 0 ) 0

( )
( n 1) !
( 在 x 0 与 n 之间 ) x
π

sin x x
x
3

x
5
( 1)
m
m 1
x
2 m 1
3!
5!
( 1 m 1 sin( ) xcos(2 x )π)
2
( 2 m 1) !
x
f
2 m 1
R2m ( x)
其中 R 2 m ( x )
麦克劳林公式
( 0 1)
( 2 m 1) !
阶的导数 , 则当
f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
时, 有
f ( x 0 ) 2! ( x x0 )
2

f
(n)
( x0 )
n!
( x x0 ) R n ( x )
n
①
其中 R n ( x )
f
( n 1 )
( )
( n 1) !
n 1
Rn ( x ) Rn ( x0 ) ( x x0 )
n 1
0
n

R n ( 1 ) ( n 1)( 1 x 0 )

n
( 1 在 x 0 与 x 之间 )
R n ( 1 ) R n ( x 0 )
R n ( 2 ) ( n 1 ) n ( 2 x 0 )
f ( 0 ) 2!
(n)
f ( 0 ) f ( 0 ) x
x
2
(0)
x
n
( 0 1)
n!
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类似可得
cos x 1
x
2
2!

x
4
( 1) m
x
2m
4!
m 1
(2m ) !
R 2 m 1 ( x )
其中
R 2 m 1 ( x )
f ( x 0 ) 2!
( x x0 )
2

f
(n)
( x0 )
n!
( x x 0 ) o [( x x 0 ) ]
n
n
④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
④ 式成立
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f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
解: 近似公式的误差
R3 ( x ) x
4
cos( x )
x 24
6
,
总误差限为 7 0 . 5 10 6 10 6 5 10 6 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6 . 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
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例2. 用近似公式
计算 cos x 的近似值,
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
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f
(n)
( x 0 )( x x 0 )
2. 余项估计
令 R n ( x ) f ( x ) p n ( x ) (称为余项) , 则有
R n ( x0 ) Rn ( x0 ) Rn ( x0 ) 0
(n)
Rn ( x) ( x x0 )
f ( 0 ) 2!
( 0 1)
(1 x )
f
(n)
n 1
x
n 1
( 0 1)
f ( 0 ) f ( 0 ) x
x
2
(0)
x
n
n!
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已知 f 因此可得
(k )
( x ) ( 1)
k 1
( k 1) ! (1 x )
( x x0 )
n 1
( 在 x 0 与 x 之间 ) ②
公式 ① 称为
的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
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注意到
R n ( x ) o [( x x 0 ) ]
n
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )