初等矩阵都是可逆的，并且有
P( i , j ) -1 = P( i , j ) , P( i(c) ) -1 = P( i( c -1 ) ) ,
P( i , j ( ) ) -1 = P( i , j (- ) ) .
由此得出初等变换具有可逆性： 设 - 矩阵 A() 用 初等变换变成 B()，这相当于对 A() 左乘或右乘 一个初等矩阵. 再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B() 就变回 A() ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由 B()可用初等变换变回 A() . 我们还可以看出在第
再证必要性. 设 A() 可逆，则有
A() B() = B() A() = E ,
上式两边取行列式，得
| A() | | B() | =|E | = 1 .
因为 | A() | 与 | B() | 都是 的多项式，所以由它
们的乘积是 1 可以推知，它们都是零次多项式，
也就是非零的数 .
证毕
例1 求下列 - 矩阵的秩
全为零，则称 A() 的秩为 r .
零矩阵的秩规定为零。
可逆矩阵 一个 n n 的 - 矩阵 A() 称为可逆
的，如果有一个 n n 的 - 矩阵 使
A() B() = B() A() = E ,
(1)
这里 E 是 n 级单位矩阵. 适合 (1) 的矩阵 B() (它
是唯一的) 称为 A() 的逆矩阵，记为 A-1() .
2 1 1 21
(1)
1
2 21
1 ;
2 2 32 2
秩为3
1 1 2
(2)
2
2 1
2
.
1 2
秩为2
例2 下列 - 矩阵中，哪些是可逆的？若可
逆求其逆矩阵.
1 2
A()=2 1
2
1 2 1
2-+1 2
A()-1=-2+-2
+1
-2
1
0 1
2. - 矩阵的Smith标准形
定理 1 一个 n n 的 - 矩阵 A() 是可逆的
充分必要条件是行列式 | A() | 是一个非零数.
证明 先证充分性. 设
d = | A() |
是一个非零的数. A*() 是 A() 的伴随矩阵，它也
是一个 - 矩阵 ，而
A ()1A *()1A *()A ()E,
d
d
因此， A() 可逆.
左上角元素也不为零,但是次数比 a11() 的次数低.
证明 根据 A() 中不能被 a11() 除尽的元素
所在的位置，分三种情况来讨论：
1) 若 A() 的第一列中有一个元素 ai1() 不能 被 a11() 除尽，则有
ai1() = a11() q() + r () , 其中余式 r () 0，且次数比 a11() 的次数低.
系列初等矩阵 P1 , P2 , … , Pl , Q1 , Q2 , … , Qs 使
A() = P1 P2 …Pl B()Q1Q2 …Qs .
- 矩阵的标准形
本段主要是证明任意一个 - 矩阵可以经过
初等变换化为Smith标准 形. 引理
设 - 矩阵A() 的左上角元素 a11() 0，
并且 A() 中至少有一个元素不能被它除尽，那么 一定可以找到一个与 A() 等价的矩阵 B() ，它的
三种运算, 并且它们与数的运算有相同的运算规律. 而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法
与乘法，因此，我们可以同样定义 - 矩阵的加法
与乘法, 它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.
行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法,
因此,同样可以定义一个 n n 的 - 矩阵的行列式. 一般地， - 矩阵的行列式是 的一个多项式,它与
矩阵论标准形
1.3 Jordan标准形
目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵 结构----Jordan矩阵。
一、 - 矩阵
二、Jordan标准形 三、Jordan标准形简单应用
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一、 - 矩阵
1. 定义
设 P 是一个数域， 是一个文字，作多项式环 P[] . 一个矩阵，如果它的元素是 的多项式，即
对 A() 作初等行变换. 把 A() 的第 i 行减去 第 1 行的 q() 倍，得：
a11( )
A( )
a
i1
(
)
a 11( )
数字矩阵的行列式有相同的性质.
例如, 对于 - 矩阵的行列式，矩阵乘积的行列式
等于行列式的乘积，这一结论，显然是对的.
既然有行列式，也就有 - 矩阵的子式的概念.
利用这个概念，我们有秩和可逆矩阵等。
秩 如果 - 矩阵 A() 中有一个 r ( r 1 )
级子式不为零，而所有 r + 1 级子式 (如果有的话)
P[] 的元素,就称为 - 矩阵.
讨论 - 矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上
关于若尔当标准形的主要定理.
因为数域 P 中的数也是 P[] 的元素，所以在 - 矩阵中也包括以数为元素的矩阵.
把以数域 P 中的数为元素的 矩阵称为数字矩阵.
以下用 A()， B()，… 等 表示 -矩阵 .
我们知道， P[] 中的元素可以作加、减、乘
初等变换的定义
定义 下面的三种变换叫做 - 矩阵的初等变换：
(1) 矩阵的两行(列)互换位置； (2) 矩阵的某一行(列)乘以非零常数 c ；
(3) 矩阵的某一行(列)加另一行(列)的 () 倍， () 是一个多项式.
和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.
三种初等变换对应三个初等矩阵
i列 j列1Fra bibliotek1 ( )
P
(
i
,
j(
))
1
i行
j行
1
i列 j列
1
0
1
i行
P
(i
,
j)
1
0
j行
1
i列
1
P (i(c))
c
i行
1
同样地，对一个 s n 的 - 矩阵 A() 作一次 初等行变换就相当于在 A() 的左边乘上相应的 ss 初等矩阵； 对 A() 作一次初等列变换就相当于在 A() 的右边乘上相应的 n n 的初等矩阵.
二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这 也是为了使 P( i(c) ) 可逆的缘故.
- 矩阵的等价
定义 - 矩阵 A() 称为与 B() 等价， 如果
可以经过一系列初等变换将 A() 化为 B() . 等价的性质: 等价是 - 矩阵之间的一种等价关系。
- 矩阵等价的条件：
矩阵 A() 与 B() 等价的充分必要条件是有一